Khám phá các bài toán phương trình và hệ phương trình: Phần 2 - Nguyễn Minh Tuấn

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách "Vẻ đẹp đánh giá phương trình và hệ phương trình" tiếp tục trình bày nội dung về bất đẳng thức đánh giá vẻ đẹp phương trình - hệ phương trình. Hi vọng cuốn sách sẽ mang lại cho các bạn học sinh đang học lớp 10, các bạn đang ôn thi HSG những kiến thức, kỹ năng, kinh nghiệm để xử lý các bài toán hay và khó, đồng thời giúp các thầy cô có một tài liệu bổ ích để tham khảo đồng thời giúp ích cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. Mời các bạn cùng tham khảo cuốn sách tại đây.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Khám phá các bài toán phương trình và hệ phương trình: Phần 2 - Nguyễn Minh TuấnVẺ ĐẸP ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHẦN III. BẤT ĐẲNG THỨC ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNHPhương trënh – hệ phương trënh – bất đẳng thức là 3 lĩnh vực cî mối quan hệ chặt chẽ vớinhau. Đây cũng chình là những phần quan trọng nhất của chương trënh toán THPT và rấtđược nhiều học sinh đam mê toán yêu thìch. Khïng những thế vấn đề này cín thườngxuyên xuất hiện trong kë thi THPT Quốc gia hay các kë thi học sinh giỏi cấp tỉnh hay thậmchì VMO. Các bài toán phương trënh khïng chình tắc thường được thiết kế và sáng tạodưới ó tưởng của một bất đẳng thức nào đî đồng thời cũng là sự phối hợp của nhiều luồngkiến thức khác nhau yêu cầu người làm toán phải cî một tư duy linh hoạt, sự tëm tíi củngcố kiến thức, liên hệ kiến thức đồng thời tập cho chòng ta nghiên cứu để cî thể khám phávẻ đẹp cũng như sử dụng thành thạo phương pháp này.CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ.Bất đẳng thức Cauchy – AM – GM .Cho n số thực dương a 1 , a 2 ,..., a n khi đî ta cî a1  a 2  ...  a n  n a 1 .a 2 ...a n n 1 n2Bất đẳng thức AM – GM dạng cộng mẫu số cho n số thực dương a 1 , a 2 ,..., a n :  i 1 ai  n  a1i 1Dấu ‚=‛ xảy ra khi a1  a 2  ...  a n .Bất đẳng thức Bunhiacopxki – Cauchy – Schwarz . 2  n  n   n Cho 2 bộ số  a 1 , a 2 ,..., a n  và  b1 , b 2 ,..., b n  . Khi đî ta cî:   ai2   bi2     ai bi   i 1  i 1   i 1 Ngoài ra cần phải chò ó đến bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng cộng mẫu Engel: 2  n  n  ai a i 2  i 1   i 1 bi  n  bi i 1Bất đẳng thức trên cín cî thể gọi là bất đẳng thức Svacxơ. a a aDấu ‚=‛ xảy ra khi 1  2    n . Riêng dạng cộng mẫu thë cần thêm điều kiến là b1 b 2 bnb1 , b 2 ,..., b n  0Bất đẳng thức Minkowski.Tổng quát: Cho mọi số thực r  1 và mọi số dương a 1 , a 2 ,..., a n , b 1 , b 2 ,..., b n thì ta có: 1 1 1 n r r  n r r  n r r  i  a  b i      ai     bi   i 1   i 1   i 1 Ở đây chỉ xét trường hợp cho 2 bộ số  a 1 , a 2 ,..., a n  và  b1 , b 2 ,..., b n  . Khi đî ta cî:Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 140 NGUYỄN MINH TUẤN – NGUYỄN TRƯỜNG PHÁT – NGUYỄN MAI HOÀNG ANH n n n a b  a  bi  2 i 2  i  i i 1 i 1 i 1 a1 a 2 aDấu ‚=‛ xảy ra khi     n . b1 b 2 bnBất đẳng thức Holder. Cho các số dương xi , j i  1, m , j  1, n .  j  m  mn  n   nKhi đî với mọi số 1 , 2 ,..., n  0 thỏa mãn  i  1 ta có:    x i , j      x i , jj  i 1 i 1  j1  j1  i 1 Ở đây ta chỉ xét trường hợp đơn giản nhất cho 3 dãy số gồm  a, b, c  ;  m, n, p  ;  x, y, z  . Tacó: a 3  b3  c3  x 3  y 3  z 3  m 3  n 3  p3    axm  byn  czp  3Dấu ‚=‛ xảy ra khi 3 dãy tương ứng tỷ lệ.I. CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH.A. ĐÁNH GIÁ MIỀN NGHIỆM.Câu ...