Kỷ yếu kỳ thi Olympic toán học sinh viên Toàn quốc lần thứ XXI

Mời các bạn cùng tham khảo nội dung "Kỷ yếu kỳ thi Olympic Toán học sinh viên toàn quốc lần thứ XXI" dưới đây để nắm bắt được nội dung và đáp án đề thi dự tuyển Toán năm 2013, đề thi chính thức năm 2013. Hy vọng đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Kỷ yếu kỳ thi Olympic toán học sinh viên Toàn quốc lần thứ XXI Kỷ yếuĐà Nẵng, 04/2013Mục lụcĐôi nét về Đại học Duy Tân ivI Đề thi dự tuyển năm 2013 11 Đại số 3 1.1 Không gian véc tơ - Ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Ma trận - Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Véc tơ riêng - Giá trị riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Giải tích 17 2.1 Dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Phép tính vi phân hàm một biến . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4 Phép tính tích phân hàm một biến . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5 Lí thuyết chuỗi và tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . 25II Đề thi chính thức năm 2013 273 Đề thi 29 3.1 Đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2 Giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Đáp án 33 4.1 Đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2 Giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 iii Phần IĐề thi dự tuyển năm 2013 1 Chương 1 1 Đại số1.1 Không gian véc tơ - Ánh xạ tuyến tínhBài 1 (CĐ Tuyên Quang). Cho V là một không gian véc tơ trên trườngK. Giả sử u1 , u2 , ..., un là một hệ véc - tơ độc lập tuyến tính của V , aij ∈K, 1 ≤ j ≤ i ≤ n. Chứng minh hệ véctơ: v1 = a11 u1 , v2 = a21 u1 + a22 u2 , v3 = a31 u1 + a32 u2 + q33 u3 , ... vn = an1 u1 + an2 u2 + . . . ann unlà độc lập tuyến tính khi và chỉ khi a11 a22 ...ann 6= 0.Bài 2 (ĐH Khoa học Huế). Cho f : V −→ W là một ánh xạ tuyến tínhcủa các không gian vecto hữu hạn chiều trên trường K. Chứng minh rằng: 1. Nếu A là một không gian con k-chiều của V sao cho A ∩ Kerf là một không gian con r-chiều thì dim f (A) = k − r. 2. Nếu B là một không gian con của W sao cho B ∩ Imf là một không gian con s-chiều thì dim f −1 (B) = dim V + s − rank(f ).Bài 3 (ĐH Khoa học Huế). Cho V = F[x] và f là một tự đồng cấu của Vxác định bởi f (P ) = xP . Xác định các giá trị riêng và vecto riêng của tựđồng cấu F : End(V) −→ End(V) cho bởi F (g) = f ◦ g − g ◦ f . 31 Đại sốBài 4 (ĐH Khoa học Huế). Cho A là một ma trận thực vuông cấp n vàϕA , ψA là các tự đồng cấu tuyến tính của không gian vecto thực M (n, R)các ma trận thực vuông cấp n xác định bởi: ϕA (X) = AX − XA, ψA (X) = AX.Chứng minh rằng det(ϕA ) = 0 và det(ψA ) = (det A)n .1.2 Ma trận - Định thứcBài 5 (ĐH Bách Khoa - Tp. HCM). Cho 4 số thực a, b, c, d tùy ý. Chứngminh rằng 1 a2 a4 1 a2 a3 a a