Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Nghiên cứu tính nhị phân mũ của nửa nhóm trung tính với trễ hữu hạn

Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị về nửa nhóm toán tử, các định nghĩa và tính chất của nửa nhóm. Chương 2 trình bày về nửa nhóm trung tính với trễ vô hạn, ta xây dựng nửa nhóm liên tục mạnh trên E = C0(R−, X) thỏa mãn điều kiện Hille-Yosida. Chương 3 nghiên cứu tính nhị phân mũ của nửa nhóm trung tính với trễ hữu hạn, khi nửa nhóm (e tB)t≥0 có nhị phân mũ
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Nghiên cứu tính nhị phân mũ của nửa nhóm trung tính với trễ hữu hạnMục lục Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Chương 1. Lý thuyết nửa nhóm toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1. Nửa nhóm liên tục mạnh và các tính chất . . . . . . . . . . . . . 6Chương 2. Sự tồn tại và ổn định nghiệm của phương trình trung tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1. Phương trình trung tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2. Nửa nhóm trung tính với trễ vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3. Nửa nhóm trung tính với trễ hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . 28Chương 3. Nhị phân mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1. Phổ và nhị phân mũ của nửa nhóm không có nhiễu . . 32 3.2. Nhị phân mũ của nửa nhóm có nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1 Lời mở đầuVào đầu thế kỉ 20 phương trình trung tính được xem như một trường hợpđặc biệt của phương trình vi phân sai phân. Ví dụ : u00 (t) − u0 (t − 1) + u(t) = 0, √ u0 (t) − u(t − 1) − u(t − 2) = 0, u0 (t) − 2u(t) + u0 (t − 1) − 2u(t − 1) = 0,(xem [3, 4, 5, 13, 23]), hoặc dưới dạng tổng quát của phương trình vi phâncấp n và sai phân cấp m :F t, u(t), u(t − r1 ), ..., u(t − rm ), u0 (t), u0 (t − r1 ), ..., u0 (t − rm ), ... ..., u(n) (t), u(n) (t − r1 ), ..., u(n) (t − rm ) = 0 với F là hàm của (m + 1)(n + 1) biến. Để hiểu được nguồn gốc thuật ngữ trễ, trung tính ta xét phươngtrình vi phân cấp 1 và sai phân cấp 1 a0 u0 (t) + a1 u0 (t − ω) + b0 u(t) + b1 u(t − ω) = f (t) với ω > 0 cố định . (1)Nếu a0 = a1 = 0, thì phương trình này gọi là phương trình sai phân. Nókhông chứa bất kỳ vi phân nào. Nếu a0 6= 0, a1 = 0, thì phương trình trên gọi là phương trình vi phânsai phân lùi hay đơn giản là phương trình vi phân có trễ. Vì nó mô tả sựphụ thuộc vào hệ trang thái của nó trong quá khứ. Nếu a0 = 0, a1 6= 0, thì phương trình trên gọi là phương trình vi phânsai phân tiến hay phương trình vi phân tiến. Vì nó mô tả sự phụ thuộcvào hệ trạng thái của nó trong tương lai. Cuối cùng nếu a0 6= 0, a1 6= 0, thì loại phương trình vi phân sai phân nàygọi là hỗn tạp, vừa lùi vừa tiến. Vì vậy trong trường hợp này phương 2trình trên gọi là phương trình vi phân trung tính. Ta tham khảo Bellman andCooke [3, Chương. 2] cho cả lịch sử của bài toán. Gần đây Wu and Xia [27] đã chỉ ra rằng hệ tương ứng của phương trìnhcó nhị phân mũ là tương đương với hệ phương trình trung tính ∂ ∂2 F ut = a 2 F ut + Φut (2) ∂t ∂xGọi là phương trình đạo hàm riêng trung tính hay phương trình trung tính.Ở đây hàm u thuộc C([−r, 0], X) với r ≥ 0 và không gian Banach X củahàm trên đường tròn đơn vị S 1 , tức là : X = H 1 (S 1 ) hoặc X = C(S 1 ), hàmlịch sử ut được xác định bởi ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0] và t ≥ 0. Cuốicùng F và Φ được gọi là toán tử sai phân và toán tử trễ là tuyến tính và bịchặn từ C([−r, 0], X) → X. Có một phương pháp để giải quyết bài toán trêndo Hale [11, 12], ông đã chỉ ra sự tồn tại và duy nhất và các tính chất củatoán tử nghiệm. Trong luận văn này đã đưa ra một phương pháp tiếp cận nửa nhóm tuyếntính của phương trình (NPDE). Và đã chỉ ra phương trình (NPDE) là đặtchỉnh và nghiệm của nó là ổn định mũ bằng phương pháp nửa nhóm. Đểthực hiện điều đó ta xây dựng phương trình (NPDE) mà ta sẽ nghiên cứutrong luân văn.   ∂ F ut  = BF ut + Φut for t ≥ 0, ∂t (N P DE) (3) u0 (t) = ϕ(t) for t ≤ 0. . Luận văn được chia làm 3 chương cùng với phần mở đầu, kết luận vàdanh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị về nửa nhóm toán tử, cácđịnh nghĩa và tính chất của nửa nhóm. Chương 2: Trình bày về nửa nhóm trung tính với trễ vô hạn, ta xâydựng nửa nhóm liên tục mạnh trên E = C0 (R− , X) thỏa mãn điều kiện 3Hille-Yosida. Ta viết F = δ0 − Ψ với Ψ là nhỏ. Sau đó ta xét nửa nhómtrung tính với trễ hữu hạn tức là toán tử trễ và toán tử sai phân xác địnhtrên đoạn hữu hạn [-r,0], khi đó điều kiện Ψ là nhỏ được thay bằng điều kiệnkhông có trọng tại 0 xem định nghĩa 2.8. Trong trường hợp phương trìnhtrung tính trên không gian hữu hạn chiều ta tham khảo Hale and VerduynLunel [14, Chap. 9], Engel [8], Kappel and Zhang [16, 17] cho kết quả về đặtchỉnh và dáng điệu tiệm cận của nghiệm cũng như sử dụng điều kiện khôngcó trọng tại 0 hoặc nonatomic tại 0xem chú ý 2.9.Trong trường hợp không gian hữu hạn chiều X với điều kiện như thế viếttrong Schwarz [25] (xem Datko [6]). Hale [11, 12] and Wu [26, Chap 2.3] vớitoán tử B là toán tử sinh một nửa nhóm giải tích và cũng thu được mộtnửa nhóm, giải phương trình(NPDE) là đơn giản nếu Ψ là nonato ...