Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tính ổn định của phương trình động học ngẫu nhiên trên thang thời gian

Bố cục của luận văn bao gồm ba chương: Chương 1 trình bày những vấn đề cơ bản về giải tích tất định và quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian. Chương 2 trình bày tích phân ngẫu nhiên theo martingale bình phương khả tích; công thức Itô đối với bộ d−semimartingale trên thang thời gian và phát biểu bài toán martingale. Chương 3 trình bày phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian với nhiễu là martingale bình phương khả tích; công thức ước lượng moment đối với nghiệm của phương trình và trình bày điều kiện cần và đủ cho tính ổn định mũ của phương trình qua các hàm Lyapunov.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tính ổn định của phương trình động học ngẫu nhiên trên thang thời gianLời cảm ơn Luận văn được thực hiện tại trường Đại học khoa học tự nhiên - ĐHQGHN dưới sựhướng dẫn tận tình, chu đáo của thầy giáo, GS.TS Nguyễn Hữu Dư. Tôi xin được bày tỏlòng biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy, người đã chỉ dạy tác giả những kiến thức, kinh nghiệmtrong học tập, nghiên cứu khoa học và các bài học trong cuộc sống. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin, Phòng sauđại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội. Tôi cũng xin gửilời cảm ơn chân thành tới các Thầy, Cô giáo trong Bộ môn Lý thuyết xác suất và thốngkê toán, khoa Toán - Cơ - Tin đã nhiệt tình giảng dạy trong suốt quá trình học tập tạiKhoa. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôngóp ý, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Hà Nội, ngày ... tháng ... năm 2015 Học viên 1Mục lục Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Các khái niệm cơ bản về giải tích trên thang thời gian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 2. Tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1. Tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2. Công thức Itô và ứng dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3. Phát biểu bài toán martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Chương 3. Tính ổn định của phương trình động lực ngẫu nhiên trên thangthời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1. Phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2. Ước lượng moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3. Tính ổn định của phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian . . 60Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2Lời mở đầu Giải tích ngẫu nhiên là một lĩnh vực toán học nghiên cứu các phép tính giải tích (tíchphân, đạo hàm, tính liên tục, khả vi, ...) đối với quá trình ngẫu nhiên, nhằm mục đíchxây dựng các mô hình toán học cho các hệ động lực có sự tác động của các yếu tố ngẫunhiên. Do đó, giải tích ngẫu nhiên là ngành khoa học có nhiều ứng dụng trong sinh học,y học, vật lý học, kinh tế học, khoa học xã hội, . . . và được nhiều nhà toán học quantâm nghiên cứu. Cho đến nay giải tích ngẫu nhiên với thời gian rời rạc và thời gian liêntục đã được nghiên cứu khá đầy đủ. Khi xây dựng mô hình toán học cho các hệ thống tiến triển theo thời gian, người tathường giả thiết hệ thống hoạt động liên tục hoặc rời rạc đều, tức là các thời điểm quansát cách nhau một khoảng cố định. Từ đó, các phép giải tích liên tục (phép tính vi phân)và rời rạc (phép tính sai phân) được nghiên cứu để mô tả hệ thống tương ứng với các giảthiết lý tưởng được đặt ra. Tuy nhiên, trên thực tế, hầu hết các hệ thống hoạt động khônghoàn toàn liên tục và cũng không hoàn toàn cách đều nhau. Đôi khi các quan sát còn xenlẫn các khoảng thời gian liên tục với các thời điểm rời rạc. Chẳng hạn một loài sâu nàođó chỉ phát triển trong mùa hè nhưng đến mùa đông thì sự phát triển của chúng bị giánđoạn. Vì vậy, trong nhiều trường hợp, phương trình vi phân hoặc sai phân không đủ đểmô tả các thông tin cần thiết của mô hình. Lý thuyết thang thời gian ra đời nhằm khắcphục nhược điểm này. Lý thuyết được đưa ra lần đầu tiên vào năm 1988 bởi S. Hilger,một nhà Toán học người Đức. Các kết quả nghiên cứu về giải tích trên thang thời giancho phép chúng ta xây dựng được mô hình toán học của các hệ thống tiến triển khôngđều theo thời gian, phản ánh đúng mô hình thực tế. Do đó, chủ đề thang thời gian thuhút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới và đã có nhiềucông trình được công bố trên các tạ ...