Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về tính chất nghiệm của phương trình tiến hóa và ứng dụng

Mục đích chính của luận văn là cố gắng tìm hiểu phương pháp nửa nhóm trong các không gian hàm và lý thuyết nhiễu của nửa nhóm vào việc nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân có nhiễu trong không gian Banach, từ đó đưa ra ứng dụng vào mô hình dân số.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về tính chất nghiệm của phương trình tiến hóa và ứng dụng ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - PHẠM NHƯ THÀNH VỀ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦAPHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - PHẠM NHƯ THÀNH VỀ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦAPHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - 2015Mục lục1 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach và toán tử sinh của chúng 5 1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Khái niệm về toán tử sinh và một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . 9 1.3 Định lý về toán tử sinh của nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Khái niệm về tán xạ và định lý Lunner-Phillips . . . . . . . . . . 15 1.5 Một số ví dụ khác nhau của nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . 17 1.5.1 Nửa nhóm liên tục đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.2 Nửa nhóm đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5.3 Nửa nhóm điều chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5.4 Nửa nhóm nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6 Bài toán Cauchy đặt chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Tính chất nghiệm của phương trình tiến hóa trừu tượng và ứng dụng 26 2.1 Nhiễu bị chặn của nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Phương trình tiến hóa với nhiễu Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Khái niệm họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh và một vài tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4 Nhiễu tuyến tính của phương trình tiến hoá và họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.5 Sự tương đương tiệm cận của các họ toán tử tiến hóa . . . . . . . 47 2.6 Ứng dụng của phương pháp nửa nhóm trong mô hình quần thể sinh học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.6.1 Về tính chất nghiệm của bài toán dân số phụ thuộc vào tuổi 53 2.6.2 Tính chất nghiệm của bài toán dân số có phụ thuộc vào tuổi và sự phân bố dân cư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1Mở Đầu Trong thời gian gần đây do yêu cầu đòi hỏi từ các mô hình ứng dụng, lýthuyết định tính của các phương trình vi phân trong không gian Banach đượcphát triển mạnh mẽ. Các kết quả nhận được về tính ổn định của phương trìnhvi phân trong không gian Banach có thể ứng dụng cho việc nghiên cứu tính chấtnghiệm của phương trình vi phân hàm. Đồng thời sử dụng trong việc nghiêncứu của các mô hình ứng dụng như: mô hình quần thể sinh học, mạng nơronthần kinh, trong vật lý và cơ học. Một trong những vấn đề đầu tiên được nhiềungười quan tâm, nghiên cứu là áp dụng phương pháp nửa nhóm cho các phươngtrình tiến hóa trừu tượng, từ đó ứng dụng vào mô hình dân số. Trong nhiều mô hình ứng dụng, ta thường gặp bài toán phương trình đạohàm riêng dạng: ∂v = A(D)v (1) ∂ttrong đó v là một hàm véc tơ v = (v1 , ..., vm ) phụ thuộc vào t và x, X A(D) = Aα Dα , |α|≤r i∂α = (α1 , .., αn ) là một đa chỉ số, |α| = α1 + ... + αn , Dα = D1α1 ...Dnαn , Dk = (k = ∂xk1, 2, ..., n), x = (x1 , ..., xn ) là một điểm trong không gian Rn và hệ số Aα là mộtma trận hằng cấp m × n. Số r được gọi là cấp của hệ.Bài toán tìm nghiệm của phương trình (1), v = v(t, x) thỏa mãn điều kiện v(0, x) = φ(x) (2)được gọi là bài toán Cauchy, trong đó hàm vector φ(x) được cho trong toàn bộkhông gian Rn . Đôi khi người ta cũng có thể gọi là bài toán với giá trị ban đầu. Bài toán với giá trị ban đầu (1) thường được giải bằng phương pháp Fourier.Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, để mở rộng phạm vi ứng dụng của nó ngườita thường xét phương trình đạo hàm riêng dạng ∂v = A(D)v + g(t, v). (3) ∂t 2 Nhờ áp dụng phương pháp nửa nhóm việc nghiên cứu tính chất nghiệm củaphương trình (3) có thể đưa về nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trìnhvi phân   du(t) + Au(t) = f (t, u(t)), t > t0 dt u(t ) = u0 0trong đó −A là một toán ...