Luận văn Thạc sĩ toán học: Tam thức bậc (α, β) và ứng dụng

Tam thức bậc hai là chuyên đề cơ bản nhất đóng vai trò nòng cốt trong các kiến thức toàn bậc trung học phổ thông. Hầu hết các bài toán và cí dụ được khảo sát tyrong chương trình đại số về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ toán học: Tam thức bậc (α, β) và ứng dụng Đ I H C THÁI NGUYÊN TRƯ NG Đ I H C KHOA H C TR N TH DANH TUYÊN TAM TH C B C (α, β) VÀ NG D NG LU N VĂN TH C S TOÁN H C THÁI NGUYÊN - NĂM 2010Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Đ I H C THÁI NGUYÊN TRƯ NG Đ I H C KHOA H C TR N TH DANH TUYÊN TAM TH C B C (α, β) VÀ NG D NG LU N VĂN TH C S TOÁN H C Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P Mã s : 60.46.40 Ngư i hư ng d n khoa h c: GS. TSKH. NGUY N VĂN M U THÁI NGUYÊN - NĂM 2010Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iM cl cM đ u 11 Tam th c b c (α, β) 3 1.1 Tam th c b c hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Các tính ch t cơ b n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Phương pháp xét d u tam th c b c hai . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Tam th c b c (α, β) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Đ nh nghĩa và các tính ch t cơ b n . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 M t s ví d v tam th c b c (α, β) thư ng g p . . . . . . . . . 13 1.2.3 Đi u ki n đ tam th c b c (α, β) dương trên (0, +∞) . . . . . . 142 Các bài toán liên quan đ n tam th c b c (α, β) 17 2.1 M i liên h gi a tam th c b c hai, b c (α, 1) và các b t đ ng th c Bernoulli, b t đ ng th c AM - GM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Tam th c b c (α, β) và phân th c chính quy . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 M t s d ng tam th c b c (α, β) có tính đơn đi u liên ti p b c (1, 2) . 263 M t s áp d ng 31 3.1 Bài toán c c tr và b t đ ng th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Kh o sát phương trình và b t phương trình . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2.1 Tam th c b c (3,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2.2 Kh o sát phương trình b c ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Tài li u tham kh o 56 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1M đ u Tam th c b c hai là chuyên đ cơ b n nh t đóng vai trò nòng c t trong các ki nth c toán b c trung h c ph thông. H u h t các bài toán và ví d đư c kh o sát trongchương trình đ i s v phương trình, b t phương trình, h phương trình, b t đ ng th cvà các bài toán c c tr ,... và trong chương trình gi i tích các l p cu i b c ph thôngnhư kh o sát s bi n thiên và v đ th ,... đ u có g n v i các hàm s b c nh t và b chai. Tuy nhiên, cũng có r t nhi u d ng toán liên quan đ n các bi u th c vô t ( ng v ilũy th a không nguyên) thì ta ngoài các d ng toán quy đư c v d ng b c hai ta c ncác k thu t khác n a. Ch ng h n, b t đ ng th c Bernoulli xα ≥ αx + 1 − α, α > 1, x > 0khi α = 2 có ngu n g c xu t x t tam th c b c hai x2 ≥ 2x − 1, x ∈ R( ng v i α = 2) nhưng không th kh o sát b ng phương pháp tam th c b c hai đư cnh t là khi α là m t s vô t . Các bài toán c c tr , b t đ ng th c, phương trình, b t phương trình,... không quyđư c v d ng b c hai thư ng là n i dung c a các đ thi h c sinh gi i các c p và cácđ thi olympic toán khu v c và qu c t . N i dung chính c a lu n văn này là nh m th c hi n nhi m v do th y hư ng d nđ t ra là kh o sát các tam th c b c (α, β) d ng f(α,β) (x) = axα + bxβ + c, α > β > 0, x > 0,trình bày các tính ch t cơ b n, xét các d ng toán liên quan và các ng d ng c a chúng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Lu n văn g m ph n m đ u, ba chương, ph n k t lu n và danh m c tài li u thamkh o. Chương 1 trình bày các ki n th c cơ b n v tam th c b c hai và phương pháp tamth c b c hai, đ nh nghĩa, các tính ch t và ví d v tam th c b c (α, β) d ng f(α,β) (x) = axα + bxβ + c, α > β > 0, x > 0. Ti p theo, kh o sát đi u ki n đ tam th c b c hai luôn luôn dương trên R. Chương 2 kh o sát các bài toán liên quan đ n tam th c b c (α, β) như b t đ ngth c Bernoulii, b t đ ng th c AM-GM, phân th c chính quy và các d ng đơn đi u liênti p b c (1, 2) đ tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a m t bi u th c. Chương 3 xét các ví d áp d ng trong phương trình, b t phương trình, b t đ ngth c và các bài toán c c tr . Lu n văn đư c hoàn thành dư i s hư ng d n tr c ti p c a GS.TSKH Nguy n VănM u. Tác gi xin bày t lòng bi t ơn chân thành và sâu s c v s hư ng d n nhi ttình, nghiêm kh c và nh ng l i đ ng viên c a Th y trong su t quá trình h c t p vàth c hi n Lu n văn. Tác gi xin chân thành c m ơn TS. Nguy n Th Thu Thu v s nhi t tình giúpđ và nh ng góp ý quý báu trong th i gian tác gi hoàn thành lu n văn. Tác gi xin ch ...