Lý thuyết phân phối giá trị trong trường hợp không Ácsimét

Trong báo cáo này, các tác giả trình bày một tổng quan ngắn về lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình, trên trường phức và trường số p-adic. Ngoài ra, báo cáo cũng giới thiệu một số kết quả nhận được trong những năm gần đây, tập trung vào những bài toán như sự xác định hàm bởi nghịch ảnh, giả thuyết Hayman về toán tử vi phân xác định bởi hàm phân hình.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lý thuyết phân phối giá trị trong trường hợp không ÁcsimétKỷ yếu công trình khoa học 2014 – Phần ILÝ THUYẾT PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ TRONG TRƯỜNG HỢPKHÔNG ÁCSIMÉTGS. TSKH. VS Hà Huy KhoáiKhoa Toán – Tin, Trường Đại học Thăng LongTóm tắt: Trong báo cáo này, chúng tôi trình bày một tổng quan ngắn về lý thuyết phânphối giá trị các hàm phân hình, trên trường phức và trường số p-adic. Ngoài ra, báo cáo cũnggiới thiệu một số kết quả nhận được trong những năm gần đây, tập trung vào những bài toánnhư sự xác định hàm bởi nghịch ảnh, giả thuyết Hayman về toán tử vi phân xác định bởi hàmphân hình.I. Lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình.Ra đời vào khoảng những năm 1930-40, lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hìnhđược đánh giá là một trong những lý thuyết sâu sắc nhất của giải tích toán học thế kỷ 20. Tưtưởng chính của nó bắt đầu từ Định lý cơ bản của đại số:Định lý: Giả sử f(z) = aozn+ a1zn-1+…+ an là đa thức hệ số phức, bậc ≥ 1. Khi đó vớimọi giá trị phức a, phương trình f(z) = a có đúng n nghiệm (kể cả bội).Câu hỏi tự nhiên đặt ra là: nếu f (z) là hàm chỉnh hình, hay hàm phân hình, thì có thểnói gì về số nghiệm của phương trình f( z) = a ?Định lý cơ bản của đại số nói rằng, số nghiệm của phương trình đúng bằng bậc của đathức. Tuy nhiên trong trường hợp hàm chỉnh hình hay hàm phân hình, khái niệm bậc không tồntại nữa. Để mở rộng sang trường hợp này, ta cần nhìn nhận định lý cơ bản của đại số như là sựkhẳng định mối liên quan giữa số nghiệm của phương trình với cấp tăng của đa thức. Như vậy,đối với hàm chỉnh hình hay hàm phân hình f(z), cần xét mối liên quan giữa số nghiệm củaphương trình f(z)= a trong hình tròn bán kính r với cấp tăng của hàm.Kết quả quan trọng đầu tiên theo hướng trên được cho bởi định lý Hadamard:Định lý (Hadamard). Giả sử f(z) là hàm chỉnh hình trên toàn mặt phẳng phức, a là mộtgiá trị phức tùy ý. Khi đó ta có{Số nghiệm của phương trình f(z)=a, |z|≤ r} ≤ log max {|f(z)|, |z|≤ r} + O(1),trong đó O(1) là đại lượng giới nội khi r→∞.Như vậy, định lý Hadamard cho một tương tự của Định lý cơ bản của đại số đối vớitrường hợp các hàm chỉnh hình.Tuy nhiên, so với Định lý cơ bản của đại số thì có thể nhận thấy Định lý Hadamard cóhai thiếu sót lớn:1/ Tồn tại những hàm không có không điểm, nhưng cấp tăng rất lớn (chẳng hạn hàm f(z) = e . Khi đó vế trái của bất đẳng thức bằng 0 và định lý trở nên tầm thường.z2/ Khi f (z) là hàm phân hình (có cực điểm) thì vế phải bằng ∞ và định lý không cho mộtước lượng gì về số nghiệm của phương trình.Lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình (còn gọi là Lý thuyết Nevanlinna) ra đờinhằm khắc phục hai thiếu sót trên.Trường Đại học Thăng Long22Kỷ yếu công trình khoa học 2014 – Phần IĐối với thiếu sót thứ nhất, Nevanlinna nhận xét rằng: trong khi hàm mũ không nhận giátrị 0, nó nhận rất nhiều giá trị “gần 0”. Vì thế, Nevanlinna định nghĩa hàm xấp xỉ m(f, a, r) nhằm“đo độ lớn tập hợp các giá trị tại đó f(z) gần với 0” (khi hàm càng gần giá trị a thì m(f, a, r) cànglớn).Như thường lệ, hàm đếm N (f, a, r) dùng để tính số nghiệm của phương trình đang xéttrong hình tròn bán kính r. Như vậy, hàm đặc trưngT(f, a, r) = m (f,a,r) + N (f, a, r)cho biết “độ lớn của tập hợp các điểm tại đó hàm nhận giá trị a hoặc gần a”.Định lý cơ bản thứ nhất. Giả sử f là hàm phân hình trên mặt phẳng phức. Khi đó tồntại hàm T (f, r) sao cho với mọi giá trị phức a ta có:T(f, a, r) = T(f, r) + 0(1),trong đó 0(1) là đại lượng giới nội khi r → ∞.Do vế trái có thể xem là không phụ thuộc a nên Định lý cơ bản thứ nhất nói rằng, sốđiểm tại đó hàm nhận giá trị a hoặc gần a không phụ thuộc vào a, và được tính bằng hàm đặctrưng T(f,r). Như vậy đây đúng là một tương tự của Định lý cơ bản của đại số (trong đó hàmđặc trưng đóng vai trò như bậc của đa thức).Tuy nhiên, để nhận được tương tự của Định lý cơ bản của đại số, ngoài hàm N(f,a,r)tính số nghiệm của phương trình, Nevanlinna đã phải thêm vào hàm xấp xỉ m(f,a,r). Nếu phầnthêm này mà lớn thì định lý nói trên trở nên ít ý nghĩa. Nevanlinna chứng minh một định lý sâusắc hơn rất nhiều, mà một cách sơ lược, có thể phát biểu như sau :Định lý cơ bản thứ hai. Nhìn chung, đại lượng m(f,a,r) rất nhỏ so với N(f,a,r).Với hai Định lý cơ bản trên đây, ta có một tương tự hoàn hảo của Định lý cơ bản củađại số cho trường hợp các hàm phân hình. Chính vì thế mà lý thuyết hàm phân hình được pháttriển dựa trên hai định lý cơ bản của Nevanlinna.Trong khỏang 30 năm gần đây, người ta phát hiện ra nhiều mối liên quan chặt chẽ giữalý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình và lý thuyết xấp xỉ Diophant trong số học. Nhiềugiả thuyết lớn của số học có thể được phát biểu như là một kết quả của “lý thuyết Nevanlinnasố học”. Vì thế nhu cầu xây dựng một lý thuyết như vậy trở nên cấp thiết.Trên tinh thần của nguyên lý địa phương – toàn cục Hasse-Minkovski, ta hy vọng cómột kết quả “số học” nếu có nó trên trường thực, phức và p-adic.Lý thuyết Nevanlinna p-adic (tổng quát hơn, trên trường không Acsimét) được xây dựnglần đầu tiên trong [ ], và được phát triển trong nhiều công trình tiếp theo của nhiều nhà toánhọc khác (xem, chẳng hạn).Trong lý thuyết Nevanlinna p-adic, chúng tôi đã chứng minh các định lý cơ bản thứ nhấtvà thứ hai, đồng thời xây dựng lý thuyết này cho trường hợp nhiều chiều (xem).II. Sự xác định hàm phân hình theo nghịch ảnh.Một trong những kết quả nổi tiếng của lý thuyết Nevanlinna là định lý sau đây, nổi tiếngvới tên gọi “Định lý 5 điểm”Trường Đại học Thăng Long23Kỷ yếu công trình khoa học 2014 – Phần IĐịnh lý 5 điểm. Giả sử f, g là hai hàm phân hình trên toàn mặt phẳng. Khi đó nếu tồntại 5 giá trị phân biệt ai i=1,2,3,4,5 sao cho f-1(ai) = g-1(ai) thì f và g trùng nhau, hoặc f, g làhằng số.Định lý trên đây đã mở đầu cho một hướng nghiên cứu mới, bắt đầu từ những năm 1980,về việc tìm những tập hợp xác định duy nhất hàm phân hình.Định nghĩa. Tập con S trong mặt phẳng phức mở rộng được gọi là tập xác định duynhất các ...