Nghiệm mạnh của phương trình vi tích phân với đối số lệch

Trong bài báo này, các tác giả nghiên cứu sự tồn tại nghiệm mạnh của một dạng phương trình vi tích phân với đối số lệch. Công cụ sử dụng là định lý điểm bất động của toán tử U+C , trong đó U là toán tử Hoa-Schmitt co và C là toán tử compact.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Nghiệm mạnh của phương trình vi tích phân với đối số lệch Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Số 24 năm 2010 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _____________________________________________________________________________________________________________ NGHIỆM MẠNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN VỚI ĐỐI SỐ LỆCH LÊ HOÀN HÓA *, NGUYỄN NGỌC TRỌNG **, LÊ THỊ KIM ANH*** TÓM TẮT Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm mạnh của một dạng phương trình vi tích phân với đối số lệch. Công cụ sử dụng là định lý điểm bất động của toán tử U + C , trong đó U là toán tử Hoa-Schmitt co và C là toán tử compact. ABSTRACT The strong solution of the retarded integro-differential equation In this paper, we study the existence of a strong solution of one form of retarded integro-differential equation by using The fixed point Theorem of the operator U + C , whereas U is a Hoa-Schmitt operator and C is a compact operator. 1. Các kết quả được sử dụng Cho X là không gian lồi địa phương và P là một họ nửa chuẩn tách trên X , D là một tập con của X và U : D ® X . Với bất kỳ a Î X , ta định nghĩa U a : D ® X bởi U a ( x ) = U ( x ) + a. Toán tử U : D ® X được gọi là Hoa-Schmitt co trên tập con W của X nếu 1) Với bất kỳ a Î W : U a ( D ) Ì D. 2) Với bất kỳ a Î W và p Î P , tồn tại ka Î với tính chất e > 0, $r Î r r $d > 0 sao cho x, y Î D thỏa a ap ( x, y ) < e + d thì a ap (U a ( x ) ,U a ( y ) ) < e . (a p a ( x, y ) = max { p (U ai ( x ) - U aj ( y ) ) : i, j = 0,1, 2,..., ka } ; = { 0,1, 2,...} ; * * và = {1, 2,...} Định lý 1.[1] Cho X là không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy với họ nửa chuẩn tách P và giả sử U , C là toán tử trên X sao cho i) U là Hoa-Schmitt co trên X . ii) Với bất kỳ p Î P, $k p ³ 0 (k p phụ thuộc vào p ) sao cho: p (U ( x ) - U ( y ) ) £ k p p ( x - y ) * x, y Î X . PGS TS, Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Sư phạm TP HCM Học viên Cao học Trường Đại học Sư phạm TP HCM *** ThS, Trường Đại học Tiền Giang ** 104 ) Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Lê Hoàn Hóa và tgk Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _____________________________________________________________________________________________________________ iii) Tồn tại x0 Î X với tính chất: p Î P, $r Î ( * ) và $l Î [ 0,1) (r , l phụ thuộc r r vào p ) sao cho p U x0 ( x ) - U x0 ( y ) £ l p ( x - y ) ; x, y Î X . iv) C là ánh xạ compact và p ( C ( A ) ) < ¥ với A Ì X , p ( A ) < ¥ . trong đó p ( A ) = sup { p ( x ) : x Î A} . p (C ( x) ) v) lim p ( x) p ( x ) ®¥ = 0; x Î X , p Î P. Khi đó U + C có điểm bất động trên X . Định lý 2. [2] = [ 0, ¥ ) . Giả sử X 0 = C ( vào E và A là tập con của X 0 . Ký hiệu tục từ + + Với mỗi n Î * + , E ) là không gian Frechet các hàm liên , giả sử X n = C ( [ 0, n ] , E ) là không gian Banach gồm các hàm số } { liên tục u : [ 0, n ] ® E với chuẩn u n = sup u ( t ) : t Î [ 0, n ] . { } Đặt An = x [ 0,n] : x Î A . Khi đó ta có : Tập A là compact tương đối trong X 0 Û ( n Î * , An đẳng liên tục trong X n và với bất kỳ s Î [ 0, n ] tập hợp An ( s ) = { x ( s ) : x Î An } compact tương đối trong E ) Û ( n Î * , An đẳng liên tục trong X n và tập hợp { x ( t ) : x Î An , t Î [ 0, n ]} compact tương đối trong E ). 2. Kết quả chính Cho r > 0. Ta ký hiệu là chuẩn của không gian Banach E . { } Cr = C ( [ - r ,0] , E ) với chuẩn x = sup x ( t ) : t Î [ - r ,0] . X0 = C ( chuẩn { } n n + , E ) là không gian Frechet các hàm liên tục từ { } + vào E với họ nửa được định nghĩa như sau: x n = sup x ( t ) : t Î [ 0, n ] , n Î * . Cho X = C ( [ - r , ¥ ) , E ) là không gian các hàm liên tục từ [ -r , ¥ ) vào E . Với mọi x Î X và t ³ 0 đặt xt Î Cr định nghĩa bởi xt (q ) = x ( t + q ) , q Î [ -r ,0] . Xét phương trình 105 Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Số 24 năm 2010 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _____________________________________________________________________________________________________________ t ì ïx¢ ( t ) = A( t ) x ( t ) + L ( t ) xt + V ( t, x ( t ) ) + ò K ( t, s, x ( s ) , xs ) ds + f ( t ) ; t ³ 0. í 0 ïx = j Î C . r î 0 (I ) Trong đó { A ( t )} t ³0 là họ toán tử tuyến tính liên tục từ E vào E , { L ( t )} t ³0 là họ toán tử tuyến tính liên tục từ Cr vào E , f : + ® E liên tục. Xét phương trình ( I ) với các điều kiện sau 1) t  A ( t ) liên tục và t  L ( t ) liên tục. 2) V : + ´ E ® E liên tục và tồn tại hàm liên tục w : V ( t , x ) - V ( t , y ) £ w ( t ) x - y ; x, y Î E , t Î + + ® + sao cho . 3) K : [ 0, ¥ ) ´ E ´ Cr ® E là ánh xạ compact sao cho 2 K ( t ,.,.,.) : I ´ A ´ B ® E liên tục đều theo t trên mỗi đoạn bị chặn tùy ý của [ 0,¥ ) , với bất kỳ các tập con bị chặn I Ì [ 0, ¥ ) , tập con bị chặn A Ì E , tập con bị chặn B Ì Cr , nghĩa là: Trên mỗi đoạn bị chặn tùy ý J của [ 0,¥ ) , với mọi e > 0 , tồn tại d > 0 , sao ...