Phương pháp giải Toán cực trị của biểu thức chứa dấu căn

Các bài Toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa dấu căn thường gặp trong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 và các kỳ thi học sinh giỏi. Với cơ sở lý thuyết đã được cung cấp ở chương I, tác giả xin đưa ra một số ví dụ minh hoạ.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp giải Toán cực trị của biểu thức chứa dấu cănPHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA DẤU CĂNCác bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa dấu căn thường gặptrong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 và các kỳ thi học sinh giỏi. Với cơ sởlý thuyết đã được cung cấp ở chương I, tác giả xin đưa ra một số ví dụminh hoạVD1:Tìm GTNN của biểu thức sau với x  R 2 21) D   x  1996    x  1997  12) F   x  x 1Giải:1) D  x  1996  x  1997Cách 1: Xét các khoảng giá trị của xVới x < 1996 thì D = 1996 - x + 1997 – x = 3993 – 2x > 1Với 1996  x  1997 thì D = 1Với x > 1997 thì D = 2x – 3993 > 1Do đó minD = 1 xảy ra khi 1996  x  1997Cách 2: áp dụng bất đẳng thức a + b  a  b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab  0D  x  1996  x  1997  x  1996  1997  x  1MinD = 1 xảy ra khi  x  1996  1997  x   0  1996  x  1997 12) F   x  x 1Điều kiện : x0Cách 1:Vì F < 0 nên xảy ra min F x 0( x  a )  y  a   0  xy  a  x  y   a 2  xy  as  a 2  a( s  a )Vì x  0 nên min  x = 0 x0Vậy minF = -1 xảy ra khi x = 0 1 1  1 vì x  0 Do đó Cách 2:  1 1 x 1 1 x 1Vậy minF = -1 xảy ra khi x = 0VD2:Tìm GTLN của biểu thức yz x  1  xz y  2  xy z  3K xyzGiải: x 1 y  2 z 3 với điều kiện x  1, y  2, z  3K   x y zÁp dụng bất dẳng thức Cô-si ta có: 1 x 1 x x  1  1 x  1   2 2 1 2 y2 y 1 2  y  2  y2  .  2 2 2 22 1 3 y 3 z 1 3  z  3  z3  .  2 3 3 23Do đó x y zK   2 x 2 2 y 2 3z 1 1 1 1 1 1    1    2 2 2 2 3 2 2 3 1 1 1Vậy maxK = 1    2 2 3Xảy ra khi x = 2, y = 4, z = 6VD3:Tìm GTNN của biểu thức sau 5  3xH 1  x2Giải: 5  3x xác định khi -1 < x < 1  H  0H 1  x2Ta có 2  5  3x  2 3  5x  25  30 x  9 x 2 9  30 x  25 x 2  16  16 x 2H2       16  16 1  x2 1  x2 1  x2  1  x2    3Vậy minH = 4 khi x = 5VD4:Tìm GTNN của biểu thức sau    K= x  2 1  x  1  x  2 1 x 1Giải:Điều kiện : x  1    K= x  2 1  x  1  x  2 1 x 1 2 2    K= x 1 1 x 1 1  = x 1 1  x  1 1 x 1 11 x 1  2 minK = 2   x  1  1 1  x  1   0Vì x  1  1  0 nên 1  x  1  0  x  0Vậy minK = 2 xảy ra khi 1  x  0Bài tập đề nghị:Bài 1. Tìm GTLN của biểu thức: 2A= x  6 x  13Bài 2. Tìm GTLN của biểu thức: x  2 x  37B=   x 1 2Bài 3. Tìm GTNN của biểu thức: 3x 3x  3  2x  x2  3  2x  x2C= 2 2Bài 4. Tìm GTLN của biểu thức: 2x 1 2D   2 x 2 x x4 ...