Tài liệu môn học Calculus

Tài liệu môn học Calculus với 2 nội dung đó là giới hạn hàm và hàm liên tục; phép tính vi phân hàm một biến với các nội dung dãy số và giới hạn dãy số, giới hạn hàm số, hàm số liên tục, đạo hàm và vi phân cấp một, các định lý cơ bản của hàm khả vi, đạo hàm và vi phân cấp cao, công thức Taylor, một số ứng dụng của phép tính vi phân.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tài liệu môn học Calculus TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN-TIN TÀI LIỆU MÔN HỌC CALCULUS(Nhóm ngành KHTN-CN K69) HÀ NỘI 2019 Mục lục1 Giới hạn hàm và hàm liên tục 2 1.1 Dãy số và giới hạn dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Phép tính vi phân hàm một biến 15 2.1 Đạo hàm và vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Các định lý cơ bản của hàm khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Đạo hàm và vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.5 Một số ứng dụng của phép tính vi phân . . . . . . . . . . . . . 21 1 Chương 1 Giới hạn hàm và hàm liên tụcCalculus là học phần cơ bản của lĩnh vực giải tích toán học, bao gồm hai nhánhchính là phép tính vi phân và phép tính tích phân. Phép tính vi phân liên quanđến tốc độ biến đổi tức thời (instantaneous rates of change) của các đại lượng(vật lí, hóa học, sinh học v.v), độ dốc (tiếp tuyến) của đường cong v.v, trongkhi phép tính tích phân được sử dụng khi tính tổng (dạng tích lũy) các đạilượng, diện tích giới hạn bởi các đường cong. Hai phép tính này liên quan chặtchẽ với nhau bởi định lí cơ bản của giải tích ( the fundamental theorem ofcalculus) và sử dụng các khái niệm cơ bản về sự hội tụ của dãy và chuỗi vôhạn.Calculus được phát triển từ nửa cuối thế kỉ 17th bởi Isaac Newton và GottfriedWilhelm Leibniz. Ngày nay, calculus được sử dụng trong hầu khắp các lĩnhvực của khoa học tự nhiên, kĩ thuật, kinh tế và môi trường và khoa học xãhội.1.1 Dãy số và giới hạn dãy sốKhái niệm về dãy số không phải là mới nhưng bây giờ chúng ta sẽ làm quenvới một khía cạnh mới của dãy số dùng để mô tả dáng điệu của những phầntử của dãy tại “điểm xa vô tận”.1.1.1 Định nghĩa dãy số: Dãy số là một qui tắc ứng một số tự nhiênvới một số thực. Nếu viết chính xác thì một dãy số là một tậ hợp có dạnga1 , a2 , . . . , an , . . ., hay còn được viết {an }n≥1 .Khái niệm quan trọng nhất gắn liền với một dãy số là giới hạn của dãy số.1.1.2. Định nghĩa giới hạn Dãy số a1 , a2 , . . . , an , . . . được gọi là hội tụ tớigiới hạn l nếu với mọi ε > 0 tồn tại N sao cho |an − l| < ε với mọi n > N.Điều này có nghĩa là với bất kỳ một đoạn thẳng cho trước chứa a thì đến mộtlúc nào đó, toàn bộ dãy số trên sẽ rơi vào đoạn thẳng đó.Trong trường hợp này ta viết an → a hay đầy đủ hơn là lim an = a. n→∞2Đương nhiên cũng có những dãy số không hội tụ chẳng hạn an = 1 khi n lẻvà an = −1 khi n chẵn. Hoặc đơn giản hơn ta thấy dãy các số tự nhiên an = ncũng không hôi tụ.1.1.3. Hai ví dụ quan trọng về dãy số hội tụ:(a) an = n1 . Khi đó {1, 1/2, 1/3, · · · } hội tụ về 0 khi n → ∞.(b) an = 1 2 +···+ 1 2n . Khi đó an = 1 − 1 2n hội tụ về 1 n → ∞.Một vấn đề nảy sinh là khi nào một dãy là hội tụ? Nếu dãy hội tụ thì tính giớihạn như thế nào? Ta có câu trả lời cho câu hỏ dễ hơn đó là: Khi nào một dãysố không hội tụ.Điều kiện cần cho dãy hội tụ. (i) Dãy số {an } không hội tụ nếu nó khôngbị chặn, tức là với mọi số tự nhiên N ta luôn tìm được phần tử am sao cho|am | > N.(ii). Dãy số {an } không hội tụ nếu dãy này chứa hai dãy con {ank } và {amk }hội tụ đến hai giới hạn khác nhau.Ta thường áp dụng mệnh đề trên để chỉ ra một dãy là không hội tụ.Ngoài dãy số hội tụ, ta cũng quan tâm tới khái niệm sau:Giới hạn bằng vô cùng. Ta nói dãy số an có giới hạn bằng vô cùng (viết lim an = ∞) nếu với mọi số nguyên N có một chỉ số M để an > N với mọin→∞n > M.Tương tự như thế, ta nói dãy số an có giới hạn bằng âm vô cùng (viết lim an = n→∞−∞) nếu với mọi số tự nhiên N có một chỉ số M để an < −N với mọi n ≥ M.Để tính giới hạn của dãy số, chúng ta sẽ sử dụng các công thức cơ bản sauđây:1.1.4. Phép tính trên dãy hội tụ:Giả sử lim an = a và lim bn = b. Khi đó ta có: n→∞ n→∞(a) lim (an + bn ...