Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về tính chất nghiệm của phương trình tiến hóa và ứng dụng

Mục đích chính của luận văn là cố gắng tìm hiểu phương pháp nửa nhóm trong các không gian hàm và lý thuyết nhiễu của nửa nhóm vào việc nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân có nhiễu trong không gian Banach, từ đó đưa ra ứng dụng vào mô hình dân số.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về tính chất nghiệm của phương trình tiến hóa và ứng dụng ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - PHẠM NHƯ THÀNH VỀ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦAPHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - PHẠM NHƯ THÀNH VỀ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦAPHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - 2015Mở Đầu Trong thời gian gần đây do yêu cầu đòi hỏi từ các mô hình ứng dụng, lýthuyết định tính của các phương trình vi phân trong không gian Banach đượcphát triển mạnh mẽ. Các kết quả nhận được về tính ổn định của phương trìnhvi phân trong không gian Banach có thể ứng dụng cho việc nghiên cứu tính chấtnghiệm của phương trình vi phân hàm. Đồng thời sử dụng trong việc nghiêncứu của các mô hình ứng dụng như: mô hình quần thể sinh học, mạng nơronthần kinh, trong vật lý và cơ học. Một trong những vấn đề đầu tiên được nhiềungười quan tâm, nghiên cứu là áp dụng phương pháp nửa nhóm cho các phươngtrình tiến hóa trừu tượng, từ đó ứng dụng vào mô hình dân số. Mục đích chính của luận văn là cố gắng tìm hiểu phương pháp nửa nhómtrong các không gian hàm và lý thuyết nhiễu của nửa nhóm vào việc nghiên cứutính chất nghiệm của phương trình vi phân có nhiễu trong không gian Banach,từ đó đưa ra ứng dụng vào mô hình dân số. Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và danh mụctài liệu tham khảo. Chương một trình bày định nghĩa, tính chất của nửa nhóm liên tục mạnhmột số định lý quan trọng về toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh, về tánxạ và một số dạng khác nhau của nửa nhóm liên tục mạnh. Trong phần này,các nội dung được trình bày dựa trên kiến thức được học ở chuyên đề Giải tíchhàm nâng cao của TS. Trần Đức Long. Chương hai trình bày bài toán nhiễu của nửa nhóm, tính chất của họ toántử tiến hóa liên tục mạnh, sự tương đương tiệm cận và các định lý liên quan;từ đó đưa ra bài toán mô hình dân số phụ thuộc vào tuổi. Nội dung được trìnhbày chủ yếu được tham khảo từ tài liệu [8]. Riêng mục 2.5 nội dung được trìnhbày dựa trên các kiến thức được học ở chuyên đề Tính ổn định nghiệm củaphương trình vi phân của PGS.TS. Đặng Đình Châu. Mục 2.6 được tham khảotừ bài báo [5]. Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Đặng Đình 1Châu. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người đã dànhnhiều công sức và thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trong việc hoànthành bản luận văn. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo và các thầy cô trong khoa Toán - Cơ -Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội về các kiến thức và nhữngđiều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian học tập tại trường. Tôi xin cảm ơntới phòng Sau đại học về những điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủtục học tập và bảo vệ luận văn. Cám ơn các thầy và các bạn trong seminar Phương trình vi phân về nhữngsự động viên và những ý kiến trao đổi quí báu đối với bản thân tôi trong thờigian qua. Cuối cùng tôi muốn tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân là chỗ dựa về tinhthần và vật chất cho tôi trong cuộc sống và trong học tập. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian còn bị hạn chế nên bản luậnvăn còn để lại nhiều thiếu sót về lỗi ấn loát và các lỗi khi bỏ qua một số trìnhbày chi tiết việc chứng minh lại các kết quả trong chương 1 cũng như trong mộtvài ví dụ ứng dụng. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, côvà các bạn. Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Phạm Như Thành 2Chương 1Nửa nhóm liên tục mạnh trongkhông gian Banach và toán tử sinhcủa chúng1.1 Nửa nhóm liên tục mạnhĐịnh nghĩa 1.1. Một họ (T (t))t≥0 các toán tử tuyến tính bị chặn trên khônggian Banach X được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh (hoặc C0 − nửa nhóm ) nếunó thỏa mãn các điều kiện sau: 1. T (t + s) = T (t)T (s) với mọi t, s ≥ 0. 2. T (0) = I . 3. lim T (t)x = T (t0 )x với mọi x ∈ X, t ≥ 0. t→t0Định lý 1.1. Cho một nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 . Khi đó có một hằngsố w ∈ R và M ≥ 1 thỏa mãn ||T (t)|| ≤ M ewt ∀t > 0. (1.1)1.2 Khái niệm về toán tử sinh và một số kết quả bổ trợĐịnh nghĩa 1.2. Toán tử sinh A : D(A) ⊂ X → X của một nửa nhóm liên tụcmạnh (T (t))t≥0 trên một không gian Banach X là một toán tử 1 Ax = ξ˙x (0) = lim (T (h)x − x) (1.2) h→0 h + 3xác định với mọi x trong miền xác định của nó D(A) = {x ∈ X : ξx là khả vi trên R+ }. (1.3)1.3 Định lý về toán tử sinh của nửa nhómĐịnh lý 1.2. Định lý toán tử sinh ( Hille-Yosida)Cho (A, D(A)) là một toán tử tuyến tính trên một không gian Banach X. Khi đócác tính chất sau là tương đương. (a) (A, D(A)) sinh ra một nửa nhóm co liên tục mạnh. (b) (A, D(A)) đóng, xác định trù mật, với mỗi λ > 0, ta có λ ∈ ρ(A) và ||λR(λ, A)|| ≤ 1. (1.4) (c) (A, D(A)) là đóng, xác định trù mật, với mỗi ∀λ ∈ C mà Reλ > 0, ta cóλ ∈ ρ(A) và 1 ||R(λ, A)|| ≤ . (1.5) ...