Vi phân tích

Cho X, Y là hai tập bất kỳ. Nếu x ÎX, cho tương ứng duy nhất một y = f(x) Î Y theo qui tắc f,thì f gọi là một ánh xạ từ X vào Y.Ký hiệu:x y f(x)f : X Y=®x f(x)• Đơn ánh: "x1, x2 Î X, x1 ≠ x2 = f(x1) ≠ f(x2)• Toàn ánh: Với mỗi y Î Y, $x Î X: y = f(x)• Song ánh: Nếu f vừa là đơn ánh và toàn ánh• Nếu f: X®Y là song ánh thì f-1: Y®X là ánh xạ ngượccủa f
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Vi phân tích PHẦN II. VI TÍCH PHÂNChương 1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN chương 3. HÀM NHIỀU BIẾN 1 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ ξ 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾNĐịnh nghĩa ánh xạ: Cho X, Y là hai tập bất kỳ. Nếu x ∈X, cho tương ứng duy nhất một y = f(x) ∈ Y theo qui tắc f,thì f gọi là một ánh xạ từ X vào Y. Ký hiệu: f : X → Y x  f (x) x  y = f (x)• Đơn ánh: ∀x1, x2 ∈ X, x1 ≠ x2 => f(x1) ≠ f(x2)• Toàn ánh: Với mỗi y ∈ Y, ∃ x ∈ X: y = f(x)• Song ánh: Nếu f vừa là đơn ánh và toàn ánh• Nếu f: X→Y là song ánh thì f-1: Y→X là ánh xạ ngượccủa f 2 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐĐịnh nghĩa hàm số: Với X,Y ⊂ R, ta gọi ánh xạ f:X→Y làmột hàm số một biến. Ký hiệu là y = f(x). x: biến độc lập y: biến phụ thuộc. Tập X: miền xác định Tập f(X) = {f(x): x ∈ X}: miền giá trị của fVí dụ: Tìm miền xác định, giá trị: y = 2x2 - 4x + 6 3 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐĐịnh nghĩa phép toán: Cho f, g cùng mxđ X:• f g: f(x) g(x), ∀ x ∈ X• f ± g = f(x) ± g(x), ∀x∈X• fg = f(x)g(x), ∀x∈X• af = af(x), ∀x∈X• f/g = f(x)/g(x), ∀x∈X, g(x)≠ 0 4 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐHàm số hợp: Giả sử y = f(u) đồng thời u = g(x). Khi đóf = f[g(x)] là hàm số hợp của biến độc lập x thông quabiến trung gian u. Ký hiệu fog.Ví dụ: Tìm gof, goh, fog, hog với g = lg2x, f = sinx, h=exHàm số ngược: Cho hàm số f có miền xác định X. Nếuf: X→Y là một song ánh thì f-1: Y→X được gọi là hàm sốngược của f.• Đồ thị của f, f-1 đối xứng nhau qua đường y = x. 5 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐHàm số đơn điệu:• f gọi là tăng (giảm) trên (a,b) nếu: x1,x2 ∈ (a,b): x1 < x2 => f(x1) ≤ f(x2) (f(x1) ≥ f(x2))• f gọi là tăng (giảm) nghiêm ngặt trên (a,b) nếu: x1,x2 ∈(a,b): x1 < x2 => f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2))• Hàm số tăng hoặc giảm trên (a,b) được gọi đơn điệu.Hàm số bị chặn:• f gọi bị chặn trên nếu ∃ M: f(x) ≤ M, ∀x• f gọi bị chặn dưới nếu ∃ m: f(x) ≥ m, ∀x• f gọi bị chặn nếu ∃ M: |f(x)| ≤ M, ∀x 6 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐHàm số tuần hoàn: Cho hàm số f có miền xác định X.Hàm số được gọi là tuần hoàn nếu: ∃ T ≠ 0: f(x+T) = f(x), ∀ x ∈ X Số T0 > 0 nhỏ nhất (nếu có) của T được gọi là chukỳ cơ sở của hàm số f.Ví dụ:• Hàm số y= sinx, y = cos(x) với chu kỳ cơ sở là T0 = 2π.• Hàm số y = tg(x), y = cotgx với chu kỳ cơ sở là T0 = π. 7 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐHàm số chẵn, lẻ: f có miền xác định X, với x, -x ∈ X.• f được gọi là hàm số chẵn nếu: f(-x) = f(x), ∀ x ∈ X• f được gọi là hàm số lẻ nếu: f(-x) = -f(x), ∀ x ∈ XVí dụ: f(x) = cosx +   x2 là Hàm số chẵn x- g( x ) = lg( x + x 2 + 1) Hàm số lẻGhi chú:• Hàm số chẵn đối xứng qua Oy• Hàm số lẻ đối xứng qua gốc toạ độ 8 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐξ 2. PHÂN LOẠI HÀM SỐ y = xα , với α ∈ R1. Hàm số luỹ thừa:• α ∈ N: mxđ R• α nguyên âm: mxđ x ≠ 0.• α có dạng 1/p, p ∈ Z: mxđ phụ thuộc vào p chẵn, lẻ• α là số vô tỉ: qui ước chỉ xét y = xα tại mọi x ≥ 0, α > 0và tại mọi x > 0 nếu α < 0.Đồ thị của y = xα luôn qua điểm (1,1) và đi qua góc toạđộ (0,0) nếu α > 0, không đi qua góc toạ độ nếu α < 0. 9 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ2. Hàm số mũ: y = ax (a > 0, a ≠ 1)• Hàm số mũ xác định với mọi x dương.• Hàm số mũ tăng khi a > 1.• Hàm số mũ giảm khi a < 1.• Điểm (0,1) luôn nằm trên đồ thị của hàm số mũ. 10 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ3. Hàm số logarit: y = logax, a > 0, a ≠ 1• Hàm số logarit chỉ xác định với x > 0.• Hàm số logax tăng khi a > 1• Hàm số logax giảm khi a < 1• Điểm (1,0) luôn nằm trên đồ thị• Hàm số y = logax là hàm số ngược của số y = ax 11C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ• Một số tính chất của logax: loga(x1x2) = loga(x1) + loga(x2) x1 loga ( ) = loga ( x1) − Loga ( x 2 ) x2 logaxα = αlogax loga b b=a logc b loga b = logc a 12 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ4. Hàm số lượng giác:• y = sinx, miền giá trị [-1,1], hàm lẻ, chu kỳ 2π• y = cosx, miền giá trị [-1,1], hàm chẵn, chu kỳ 2π• y = tgx, mxđ ∀ x ≠ (2k+1)π/2, hàm lẻ, chu kỳ π• y = cotgx, mxđ ∀ x ≠ kπ, k ∈ Z, hàm lẻ, chu kỳ π 13 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ5. Hàm số lượng giác ngược:• Hàm số y = arcsinx: Miền xác định [-1,1], miền giá trị[-π/2,π/2] và là hàm số tăng.• Hàm số y = arccosx: Miền xác định [-1,1] và miền giátrị [0,π] là hàm số giảm• Hàm số y = arctgx: Miền xác định R và miền giá trị (-π/2,π/2) và là hàm số tăng.• Hàm số y = arccotgx: Miền xác định R và miền giá trị(0,π) là hàm số giảm. 14 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐĐịnh nghĩa: Các hàm số hằng số, luỹ thừa, mũ, logarit,lượng giác và các hàm số ngược được gọi là các hàm sốsơ cấp cơ bản.• Các hàm số nhận được bằng cách thực hiện một sốhữu hạn các phép toán tổng, hiệu, tích thương, phép lấyhàm hợp trên các hàm số sơ cấp cơ bản được gọi chunglà hàm số sơ cấp.Ví dụ: f(x) là hàm số sơ cấp.  2 sin( x 2 ) + 3  f ( x ) = lg3    x2 + 2    15 C3. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐξ 3. GIỚI HẠN HÀM SỐ1. Giới hạn hữu hạn của hàm số:Định nghĩa lân cận:• x thuộc lân cận của x0 ⇔ ∃ δ>0 n ...