Bài giảng Đổi biến trong tích phân bội ba

Bài giảng Đổi biến trong tích phân bội ba trình bày về tọa độ trụ; tọa độ cầu; một số mặt cong thường gặp trong tọa độ cầu; giao tuyến của mặt cầu và trụ; đổi biến cho hình cầu tổng quát, ellipsoid.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Đổi biến trong tích phân bội ba ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN BỘI BA ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN BỘI BA f(x,y,z) xác định trong , đặt x = x(u,v,w) y = y(u,v,w) (x,y,z) (u,v,w) ’ z = z(u,v,w) xu xy xw D( x , y , z) J= = yu yv yw D (u , v , w ) zu zv zw � � �Ω f ( x , y , z)dxdydz = � � � Ω g (u , v ,w ) | J | dudvdw Áp dụng vào việc xét tính đối xứng của Nếu gồm 2 phần 1 và 2 đối xứng nhau qua mp z = 0 1.f chẵn theo z : � � Ω � f ( x , y , z )dxdydz =2 � � Ω � f ( x , y , z )dxdydz 1 2.f lẻ theo z : � � Ω � f ( x , y , z )dxdydz = 0 Lưu ý: • Mp z = 0 là mp Oxy • Kết quả áp dụng tương tự nếu đối xứng qua mp • y = 0 (tính chẵn lẻ của f xét theo y) • x = 0 (tính chẵn lẻ của f xét theo x) TỌA ĐỘ TRỤ x = rcos , y = rsin , z = z z z M x r y (r = 2 x +y 2 ) M’ cố định z đổi sang tọa độ trụ hình chiếu D đổi sang tọa độ cực. TỌA ĐỘ TRỤ x = rcos , y = rsin , z = z J=r � � � Ω f ( x , y , z )dxdydz = � � � Ω f (r cos ϕ , r sin ϕ , z)rdrdϕ dz Điều kiện giới hạn: 1.r 0 2. [0, 2 ] hay [- , ] TỌA ĐỘ CẦU x = sin cos , z M y = sin sin , z = cos y x J= 2 sin Điều kiện giới hạn: 1. 0 2. [0, 2 ] hay [- , ] Lưu ý: 2 2 2 ρ = x +y +z x 2 + y 2 = ρ sin θ Tọa độ cầu thường dùng cho miền giới hạn bởi mặt cầu hoặc mặt nón và mặt cầu. Một số mặt cong thường gặp trong tđ cầu 2 2 x +y +z =R2 2 � ρ =R 0 ρ R 2 2 2 2 x +y +z R � 0 θ π 0 ϕ 2π ρ 2R cosθ 2 2 2 π x + y+ � z� 2Rz 0 θ 2 0 ϕ 2π 2 2 z 1 Nón trên. x + y = � tan θ = a a 2 2 2 R x +y =R � ρ = Trụ tròn. sin θ VÍ DỤ 1/ Vẽ miền lấy tp và đổi tp sau sang tọa độ trụ 4 4x−x2 2 � � � I = dx 0 0 dy xzdz 0 2 0 x 4 D = hc Ω : Oxy 0 y 4x − x 2 2 x = rcos , y = rsin , z = z :0 r 4cos , 0 0 z 2 z=2 y =0 x2 + y2 = 4x 4 4x−x2 2 z=0 I = dx� 0 � 0 � 0 dy xzdz π 2 4cos ϕ 2 = dϕ dr r cos ϕ .z.rdz 0 0 0 2/ Vẽ miền lấy tp và đổi tp sau sang tọa độ trụ, cầu: 2 4− y 2 0 � I = dy 0 � 0 dx � xzdz − 4− x 2 − y 2 2 4− y 2 0 x = rcos , � � I = dy 0 0 dx � xzdz y = rsin , − 4− x 2 − y 2 z=z π 2 2 0 I= dϕ dr r cos ϕ .z.rdz 0 0 − 4−r 2 2 4− y 2 0 � I = dy 0 ...