Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Lecture 10 – Trần Quang Việt

Bài giảng “Tín hiệu và hệ thống – Chương 6: Phân tích hệ thống liên tục dùng biến đổi Laplace (lecture 10)” trình bày các nội dung: Biến đổi Laplace thuận, biến đổi Laplace của một số tín hiệu thông dụng, biến đổi Laplace một bên, các tính chất của biến đổi Laplace, biến đổi Laplace ngược. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Lecture 10 – Trần Quang ViệtCh-6: Phân tích hệ thống liên tục dùng biến đổi Laplace Lecture-10 6.1. Biến đổi Laplace Signals & Systems – FEEE, HCMUT6.1. Biến đổi Laplace 6.1.1. Biến đổi Laplace thuận 6.1.2. Biến đổi Laplace của một số tín hiệu thông dụng 6.1.3. Biến đổi Laplace một bên 6.1.4. Các tính chất của biến đổi Laplace 6.1.5. Biến đổi Laplace ngược Signals & Systems – FEEE, HCMUT6.1.1. Biến đổi Laplace thuận  Biến đổi Fourier cho phép phân tích tín hiệu thành tổng của các thành phần tần số  phân tích hệ thống đơn giản & trực quan hơn trong miền tần số.  Biến đổi Fourier là công cụ chủ yếu để phân tích TH & HT trong nhiều lĩnh vực (viễn thông, xử lý ảnh, …)  Muốn áp dụng biến đổi Fourier thì tín hiệu phải suy giảm & HT với đáp ứng xung h(t) phải ổn định. | f(t)|dt & |h(t)|dt  Để phân tích tín hiệu tăng theo thời gian (dân số, GDP,…) và hệ thống không ổn định  dùng biến đổi Laplace (là dạng tổng quát của biến đổi Fourier) Signals & Systems – FEEE, HCMUT6.1.1. Biến đổi Laplace thuận  Xét tín hiệu f(t) là hàm tăng theo thời gian  tạo hàm mới (t) từ f(t) sao cho tồn tại biến đổi Fourier: (t)=f(t).e- t; R  Biến đổi Fourier của (t) như sau: ω [ (t)] f(t)e t e jωt dt f(t)e (σ+jω)t dt Đặt s= +j : ( ) f(t)e st dt F(s)=Φ(ω) Hay: F(s)= f(t)e st dt (Biến đổi Laplace thuận) Ký hiệu: F(s) L[ f(t)] f(t) σt (t)=f(t)e t t Signals & Systems – FEEE, HCMUT6.1.1. Biến đổi Laplace thuận  Miền hội tụ (ROC) của biến đổi Laplace: tập hợp các biến s trong mặt phẳng phức có =Re{s} làm cho (t) tồn tại biến đổi Fourier Ví dụ: tìm ROC để tồn tại F(s) của các tín hiệu f(t) sau: (a) f(t)=e at u(t); a>0 (b) f(t)=e at u( t); a>0 (c) f(t)=u(t) Signals & Systems – FEEE, HCMUT6.1.2. Biến đổi Laplace của một số tín hiệu thông dụng (a) f(t)=δ(t) F ( s ) 1; ROC: s-plane -at 1 (b) f(t)=e u(t); a>0 F (s) ; ROC : Re{s} a s a 1 (c) f(t)=-e-at u(-t); a>0 F (s) ; ROC : Re{s} a s a 1 (d) f(t)=u(t) F (s) ; ROC : Re{s} 0 s Signals & Systems – FEEE, HCMUT6.1.3. Biến đổi Laplace một bên  Kết quả phần trước cho ta các tín hiệu khác nhau có thể có biến đổi Laplace giống nhau, nhưng khác ROC. Do vậy ROC phải được chỉ rỏ khi cần xác định f(t) từ F(s). Ví dụ: 1 F (s) ; ROC : Re{s} a f (t ) e at u (t ); a 0 s a 1 F (s) ; ROC : Re{s} a f (t ) e at u ( t ); a 0 s a  Để giảm sự phức tạp trên, ta định nghĩa biến đổi Laplace 1 bên: F(s)= st f(t)e dt 0- để có thể dùng khi f(t) là xung đơn vị 0 0- để có thể khảo sát hệ thống có ĐKĐ ở 0-  Biến đổi Laplace 1 bên, chỉ có thể dùng để khảo sát tín hiệu & hệ thống nhân quả. Tuy nhiên hạn chế này không ảnh hưởng nhiều đến tín hiệu và hệ thống thực. Signals & Systems – FEEE, HCMUT6.1.3. Biến đổi Laplace một bên  Vậy với định nghĩa biến đổi Laplace 1 bên, ta có thể xác định duy nhất f(t) từ F(s) mà không quan tâm tới ROC. Ví dụ: 1 F (s) f (t ) e at u (t ) s a  Trong chương này ta chỉ tập trung vào dùng biến đổi Laplace 1 bên để phân tích hệ thống LTI. Do vậy khi nói tới biến đổi Laplace, ta ngầm định rằng đó là biến đổi Laplace một bên. Signals & Systems – FEEE, HCMUT6.1.3. Các tính chất của biến đổi Laplace Tính chất tuyến tính: f1 (t ) F1 ( s) f 2 (t ) F2 ( s) a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1F1 (s) a2 F2 (s) t 2t 2 1 Ex : 2e u (t ) e u (t ) ; ROC : Re{s} 1 s 1 s 2 Dịch chuyển trong miền thời gian: ...