Chuyên đề bất đẳng thức luyện thi đại học năm 2015 - GV. Lê Xuân Đại

Kì thi đại học, cao đẳng là kì thi quan trọng đối với mỗi học sinh. Dưới đây là chuyên đề "Bất đẳng thức luyện thi đại học năm 2015" giúp các em kiểm tra lại đánh giá kiến thức của mình và có thêm thời gian chuẩn bị ôn tập cho kì thi sắp tới được tốt hơn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề bất đẳng thức luyện thi đại học năm 2015 - GV. Lê Xuân Đại www.VNMATH.comChuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp LÊ XUÂN ĐẠI (GV THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Bất đẳng thức (BĐT) là một trong những dạng toán thường có trong các đề thi ĐH-CĐ. Các thí sinh của chúng ta đều rất sợ và lúng túng khi gặp phải bài toán chứng minhBĐT hoặc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Đơn giản là do các bài toán về BĐT thường là bàitoán khó trong đề thi, nhằm phân loại và chọn được các học sinh khá giỏi. Thường thì các sĩtử không biết bắt đầu từ đâu để giải quyết các bài toán về BĐT. Chuyên đề này muốn hệthống cho các bạn các phương pháp cơ bản và một số dạng bài tập về BĐT. Hy vọng sẽgiúp các em học sinh lớp 12 đạt kết quả cao trong kì thi ĐH- CĐ sắp tới. Đọc xong chuyên đề này tôi tin các bạn sẽ không còn cảm giác sợ bất đẳng thức nữaKhi chúng ta hết đi sự sợ hãi và ngại ngần thì chúng ta sẽ đam mê và dành tình yêu cho nó.Dành tình yêu và sự đam mê cho toán học nói chung và BĐT nói riêng là điều rất cần thiếtcủa một người làm toán sơ cấp chân chính và sự lãng mạn của toán học cũng bắt nguồn từđó… Thành công chỉ đến khi bạn làm việc tận tâm và luôn nghĩ đến những điều tốtđẹp… Những lời khuyên bổ ích khi học về BĐT: 1. Nắm chắc các tính chất cơ bản của BĐT. 2. Nắm vững các phương pháp cơ bản chứng minh BĐT như: PP biến đổi tươngđương; PP sử dụng BĐT Cô si; PP sử dụng đạo hàm… 3. Đặc biệt chú trọng vào ôn tập các kỹ thuật sử dụng BĐT Cô si, luôn biết đặt và trảlời các câu hỏi như: khi nào áp dụng; điều kiện cho các biến là gì; dấu bằng xảy ra khi nào;nếu áp dụng thế thì có xảy ra dấu bằng không; tại sao lại thêm bớt như vậy… 4. Luôn bắt đầu với các BĐT cơ bản (điều này vô cùng quan trọng); học thuộc mộtsố BĐT cơ bản có nhiều áp dụng nhưng phải chú ý điều kiện áp dụng được, chẳng hạn như: * a 2  b 2  c2  ab  bc  ca (1) với mọi a,b,c 1 www.VNMATH.comChuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp * (a  b  c) 2  3(ab  bc  ca) (2) với mọi a,b,c * (a  b  c) 2  3(a 2  b 2  c2 ) (3) với mọi a,b,c 1 1 4 1 1 1 9 *   ;    (4) với mọi a,b,c dương a b a b a b c a bc * a 2  x 2  b 2  y 2  (a  b) 2  (x  y) 2 (5) với mọi a,b,x,y. x 2 y 2 (x  y)2 *   (6) với mọi a,b dương và x,y bất kỳ a b ab x 2 y 2 z 2 (x  y  z)2 *    (7) với mọi a,b,c dương và x,y,z bất kỳ a b c abc ………Dấu bằng xảy ra ở các BĐT (1), (2), (3) và (4) là a=b=c. x y x y zDấu bằng xảy ra ở BĐT (5) và (6) là  ; ở (7) là   (với mẫu khác 0). a b a b c(Các em hãy bắt tay ngay vào việc chứng minh các BĐT cơ bản trên nhé. Hãy tìm cho mìnhmột cách giải nhất quán, đơn giản, nhớ nó và khi làm bài thi đều phải chứng minh lại, rồimới được áp dụng). Trước hết xin đưa ra 3 phương pháp thông dụng nhất để chứng minh BĐTI. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG:1. Phương pháp chung Để chứng minh A  B ta thường thực hiện theo một trong hai cách sau:Cách 1: Ta chứng minh A  B  0 . Để làm được điều này ta thường sử dụng hằng đẳngthức để phân tích A  B thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm.Cách 2: Xuất phát từ một BĐT đúng nào đó ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh. Đối vớicách này thường cho ta lời giải không được tự nhiên cho lắm và thường sử dụng khi cácbiến có những ràng buộc đặc biệt.Chú ý: Một số kết quả hay sử dụng * x 2  0 với mọi x   và x 2  0  x  0 * x  0 với mọi x   và x  0  x  02. Một số ví dụ 2 www.VNMATH.comChuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvpVí dụ 1: Chứng minh rằng với mọi a, b   ta có: a 2  b 2  2ab (1)Giải: Ta có a 2  b 2  2ab  (a  b) 2  0  a 2  b 2  2ab (đpcm).Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b.Thật đơn giản phải không các bạn, nếu tinh ý thêm một chút thôi các bạn sẽ tìm ra nhữngkết quả tổng quát hơn và niềm tin để vượt qua bài BĐT trong đề thi ĐH là hoàn toàn khảthi.Cụ thể là với ba số thực a,b,c bất kỳ ta có a 2  b2  2ab ; b 2  c2  2bc và a 2  c 2  2acCộng từng vế của 3 BĐT ta được kết quả sau: a 2  b 2  c2  ab  bc  ca (2)Có thể thấy ngay có hai BĐT tương đương với (2) rất quen thuộc là ...