Đề thi HSG môn Toán 11 năm 2018-2019 có đáp án - Cụm trường THPT chuyên DHĐB Bắc bộ

Đề thi HSG môn Toán 11 năm 2018-2019 có đáp án - Cụm trường THPT chuyên DHĐB Bắc bộ giúp các bạn học sinh có thêm tài liệu ôn tập, luyện tập giải đề nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập một cách thuận lợi. Chúc các bạn thi tốt!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi HSG môn Toán 11 năm 2018-2019 có đáp án - Cụm trường THPT chuyên DHĐB Bắc bộ KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ XII, NĂM 2019 ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC 11 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)(Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 20/4/2019 Câu 1 (4 điểm). Cho dãy số ( u n ) n 1 bị chặn trên và thoả mãn điều kiện 2 3 un  2  .un 1  .un ,  n  1, 2, 3,... 5 5Chứng minh rẳng dãy u n  có giới hạn hữu hạn.Câu 2 (4 điểm). Cho ABC có đường tròn nội tiếp  I  tiếp xúc với BC , CA, AB ở D, E , F .Đường thẳng qua A song song BC cắt DE , DF lần lượt tại M , N . Đường tròn ngoại tiếp tam giácDMN cắt đường tròn  I  tại điểm L khác D.a) Chứng minh A, K , L thẳng hàng.b) Tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN tại M , N cắt EF tại U , V . Chứng minhrằng đường tròn ngoại tiếp tam giác UVL tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN .Câu 3 (4 điểm). Tìm tất cả các đa thức sao cho với mọi số nguyên dương, phươngtrình có nghiệm nguyên.Câu 4 (4 điểm). Cho p là số nguyên tố có dạng 12 k  11 . Một tập con S của tập M  {1; 2; 3;; p  2; p  1}được gọi là “tốt” nếu như tích của tất cả các phần tử của S không nhỏ hơn tích của tất cả các phầntử của M S . Ký hiệu  S hiệu của hai tích trên. Tìm giá trị nhỏ nhất của số dư khi chia  S cho p p 1xét trên mọi tập con tốt của M có chứa đúng phần tử. 2Câu 5 (4 điểm). Cho đa giác lồi n đỉnh A0 A1... An1  n  2  . Mỗi cạnh và đường chéo của đa giácđược tô bởi một trong k màu sao cho không có hai đoạn thẳng nào cùng xuất phát từ một đỉnh cùngmàu. Tìm giá trị nhỏ nhất của k. -------------- HẾT --------------(Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)Họ và tên thí sinh: ...................................................................... Số báo danh: ................................... ĐÁP ÁNCâu Nội dung trình bày Điểm 1 Đề xuất của trường THPT chuyên Biên Hòa, Hà Nam 4,0  Cho dãy số ( u n ) n 1 bị chặn trên và thoả mãn điều kiện 2 3 un  2  .un 1  .un ,  n  1, 2, 3,... 5 5 Chứng minh rẳng dãy u n  có giới hạn hữu hạn. 2 3 3 3 1,0 Ta có u n  2  u n 1  u n  un 2  un 1  un1  un , n  1, 2,3,... (1) 5 5 5 5 3 Đặt v n  un 1  un , n  1, 2,3,... thì từ (1) ta có v n 1  v n , n  1, 2,3,... (2) 5  Vì dãy số ( u n ) n 1 bị chặn trên nên tồn tại số M sao cho un  M , n  1, 2,3,... suy ra 3 8 vn  M  M  M , n  1, 2,3,... (3) 0,5 5 5 Từ (2) và (3) ta thấy dãy (v n ) không giảm và bị chặn trên. Do đó, nó là dãy hội tụ. 5a Đặt lim v n  a và b  . Ta sẽ chứng minh lim u n  b. 8  Thật vậy, vì lim v n  a nên   0 nhỏ tùy ý, n0  N * sao cho vn  a  , n  n0 . 5 Khi đó, nhờ có đánh giá ...