Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 - Trường THPT chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội năm 2011 môn Toán (Vòng 1-2)

Mời các bạn tham khảo Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 - Trường THPT chuyên KHTN năm 2011 môn Toán (Vòng 1-2) sau đây để biết được cấu trúc đề thi cũng như những dạng bài chính được đưa ra trong đề thi. Từ đó, giúp các bạn có kế hoạch học tập và ôn thi hiệu quả.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 - Trường THPT chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội năm 2011 môn Toán (Vòng 1-2)Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2011 MÔN: TOÁN (Vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)Câu I. 1) Giải hệ phương trình   x  1 y 2  x  y  3  2  ( y  2) x  y  x  1 . 2) Giải phương trình 3 x2  7 x  . x 2( x 1)Câu II. 1) Chứng minh rằng không tồn tại các bộ ba số nguyên ( x, y, z ) thỏa mãn đẳng thức x 4  y 4  7 z 4  5. 2) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x, y) thỏa mãn đẳng thức ( x  1)4  ( x  1)4  y 3 .Câu III. Cho hình bình hành ABCD với  BAD  90. Đường phân giác của góc  BCD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O khác C . Kẻ đường thẳng (d ) đi qua A và vuông góc với CO . Đường thẳng (d ) lần lượt cắt các đường thẳng CB, CD tại E , F . 1) Chứng minh rằng OBE  ODC . 2) Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF . 3) Gọi giao điểm của OC và BD là I , chứng minh rằng IB.BE.EI  ID.DF .FI .Câu IV. Với x, y là những số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x3 4 y3 P  . x3  8 y3 y 3  ( x  y )3Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmathLê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2011 ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN (Vòng 1)Câu I. 1) Hệ phương trình tương đương với ( x  1) y 2  ( x  1)  2  y  2 ( y  2) x  ( y  2)  x  1 2 ( x  1)( y  1)  2  y (1) 2 ( y  2)( x  1)  x  1 (2)+) Nếu x  1 suy ra ( x  1)( y 2  1)  0 nên từ (1)  2  y  0  y  2  ( y  2)( x 2  1)  0 do đótừ (2)  x  1  0  x  1 mâu thuẫn.+) Nếu x  1, tuơng tự suy ra x  1 mâu thuẫn.+) Nếu x  1  y  2 (thỏa mãn).Đáp số x  1, y  2. 2) Điều kiện x  0 . Phương trình tương đương 3 2( x  1) x  x 2  7. xChia hai vế cho x  0 ta thu được 1 3 7 3 1 3 4 3 3 22(1  ) x  x   ( x  )  2(1  ) x    0  ( x   2) ( x   )  0 x x x x x x x x x x 3 3 x  1+) Giải x  2  x   4  x2  4x  3  0   . x x x  3 3 2 3 4+) Giải x   x   2  x3  3 x  4  0  ( x  1)( x 2  x  4)  0  x  1 . x x x xĐáp số x  1, x  3 .Câu II. 1) Giả sử tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãnx 4  y 4  7 z 4  5  x 4  y 4  z 4  8 z 4  5 (1) .Ta có a 4  0,1 (mod 8) với mọi số nguyên ahttps://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmathLê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội  x 4  y 4  z 4  0,1, 2,3 (mod 8) 4 8 z  5  5(mod 8)Mâu thuẫn với (1) . Vậy không tồn tại ( x, y, z ) thỏa mãn đẳng thức.2) Phương trình tương đương với( x  1)2  ( x  1)2  ( x  1)2  ( x  1)2   y 3  (2 x 2  2)(4 x)  y 3  8 x3  8 x  y 3 .+) Nếu x  1  8 x3  8 x3  8 x  (2 x  1)3  (2 x)3  y 3  (2 x  1)3 (mâu thuẫn vì y nguyên).+) Nếu x  1 và ( x, y ) là nghiệm, ta suy ra ( x,  y ) cũng là nghiệm, mà  x  1  mâuthuẫn.+) Nếu x  0  y  0 (thỏa mãn). Vậy x  y  0 là nghiệm duy nhất.Câu III 1) Tứ giác OBCD nội tiếp và CO là phân giác góc  BCD   OCD  OBD   OCB   ODB   OBD cân tại O  OB  OD (1) .Tứ giác OBCD nội   OBE tiếp ODC  (2) (cùng bù với góc OBC  ). Trong CEF có CO vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên CEF cân tại C. Do AB  CF   AEB     ABE cân AFC  EAB tại B  BE  BA  CD (3). Từ (1), (2), (3) suy ra OBE  ODC (c  g  c) (đpcm). B C E I ...