Định lý điểm bất động chung cho các ánh xạ tương thích yếu trong không gian Cone Metric

Bài viết đưa ra một số kết quả mới về lý thuyết điểm bất động chung cho lớp các ánh xạ tương thích yếu trong không gian Cone Metric. Mời các bạn cùng tham khảo bài viết để nắm chi tiết nội dung nghiên cứu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Định lý điểm bất động chung cho các ánh xạ tương thích yếu trong không gian Cone Metric TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 2. 2009 ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CHO CÁC ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH YẾU TRONG KHÔNG GIAN CONE METRIC Nguyễn Văn Lương1, Lê Văn Đăng1, Nguyễn Xuân Thuần1 1 Khoa Khoa học Tự nhiên, trường Đại học Hồng Đức TÓM TẮT Bài báo đưa ra một số kết quả mới về lý thuyết điểm bất động chung cho lớp cácánh xạ tương thích yếu trong không gian cone metric. 1. MỞ ĐẦU Trong giải tích hàm phi tuyến, lý thuyết điểm bất động có vai trò quan trọng trongnhiều lĩnh vực của toán học nói chung. Chẳng hạn, trong lý thuyết phương trình vi tíchphân (lý thuyết điều khiển tối ưu, lý thuyết hệ động lực, …). Đặc biệt, các định lý điểmbất động trên các không gian được sắp (on ordered spaces), trên nón, nón chuẩn tắc, nónchính qui (cone, normal cone, regular cone),… được mở rộng cho nhiều lớp ánh xạ kiểuco (đơn trị, đa trị) khác nhau ([6]-[11]).Gần đây, L.G- Huang, X. Zhang ([8] -2007), M.Abbas, G. Jungck ([6]-2008) và một số tác giả khác đã đạt được một số kết quả cho lớpánh xạ co trên không gian cone metric. Mở rộng các kết quả trên ([6]- định lý 2.1 và [8]-định lý 1), trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một số kết quả mới về chủ đề trên cho lớpcác ánh xạ tương thích yếu trên không gian cone metric. 2. MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ ĐỊNH NGHĨA Giả sử E là không gian Banach thực và P là một tập con của E. Tập P được gọi làcone, nếu và chỉ nếu: (i) P đóng, khác rỗng và P ≠ {0} , (ii) a, b ∈ , a, b ≥ 0, x, y ∈ P thì ax + by ∈ P , (iii) x ∈ P và − x ∈ P thì x = 0. Cho cone P ⊂ E , ta xác định quan hệ thứ tự bộ phận ≤ trên P như sau: x ≤ y khivà chỉ khi y − x ∈ P . Ký hiệu x < y nếu x ≤ y và x ≠ y ; x y nếu y − x ∈ int(P) ,trong đó int(P) là miền trong của P. Cone P được gọi là chuẩn tắc, nếu tồn tại số K > 0sao cho, với mọi x, y ∈ E , từ 0 ≤ x ≤ y suy ra || x ||≤ K || y || . Số thực dương nhỏ nhấtthoả mãn tính chất trên được gọi là hằng số chuẩn tắc của P. Định nghĩa 2.1 [8]. Cho tập hợp khác rỗng X. Ánh xạ d : XxX → E thoả mãn (d1) 0 ≤ d(x, y), ∀x, y ∈ X và d(x, y) = 0 ⇔ x = y . 5 TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 2. 2009 (d2) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X . (d3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X .được gọi là cone metric trên X và (X,d) được gọi là không gian cone metric. Ví dụ 2.2 [8]. Cho E = 2 , P = {(x, y) ∈ E | x, y ≥ 0} ⊂ 2 ,X = và d : XxX → Exác định bởi d(x, y) = (| x − y |, α | x − y |) , α ≥ 0 là hằng số. Thì (X,d) là không giancone metric. Định nghĩa 2.3 [8]. Cho không gian cone metric (X,d). Khi đó (a) Dãy {x n } gọi là dãy hội tụ tới x, nếu và chỉ nếu với mỗi c 0, tồn tại n0∈ sao cho d(x n , x) c, ∀n ≥ n 0 . (b) Dãy {x n } gọi là dãy Cauchy, nếu và chỉ nếu với mỗi c 0, tồn tại n0 ∈ saocho d(x n , x m ) c, ∀n, m ≥ n 0 Không gian cone metric là không gian đầy đủ, nếu mọi dãy Cauchy trong X đềuhội tụ trong X. Nếu P là cone chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K thì dãy {x n } hội tụ tớix, nếu d(x n , x) → 0 khi n → ∞ ; {x n } là dãy Cauchy, nếu d(x n , x m ) → 0 khin, m → ∞ , và giới hạn của một dãy là duy nhất ([8]). Nếu P là cone chuẩn tắc, x ∈ E, a∈ , 0 ≤ a ≠ 1 , và x ≤ ax, thì x = 0. ([9]) Định nghĩa 2.4 [12]. Cặp ánh xạ A và S gọi là tương thích yếu, nếu từ Ax = Sxsuy ra SAx = ASx. Bổ đề 2.5. Giả sử (X,d) là không gian cone metric và {x n } là một dãy trong X.Nếu {x n } hội tụ tới x thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ tới x. Chứng minh. Với mỗi c ∈ E mà 0 c, tồn tại N ∈ , sao cho với mọi n > N,d(xn, x) c. Với mọi k > N thì n k > k > N , nên d(x n k , x) { } c . Do đó x n k hội tụtới x.♦ Bổ đề 2.6. Giả sử (X,d) là không gian cone metric và {x n } là một dãy trong X.Nếu {x n } là dãy Cauchy thì mọi dãy con của nó cũng là dãy Cauchy. Chứng minh. Với mỗi c ∈ E mà 0 c, tồn tại N sao cho mọi m,n >N, d(xn, xm) c. Với mọi k, l > N thì n k > k > N và n l > l > N nên d(x n k , x nl ) { } c . Do đó x n klà dãy Cauchy.♦ Bổ đề 2.7. Giả sử (X,d) là không gian cone metric và {x n } là một dãy trong X.Nếu {x n } là dãy Cauchy và có một dãy con hội tụ tới x thì {x n } cũng ...