Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Các tính chất của chuẩn Orlicz trong không gian Orlicz

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm hai chương. Chương 1: Không gian Orlicz, chương này trình bày về hàm lồi, hàm Young, hàm Young liên hợp, đây là các khái niệm cơ bản để ta đi xây dựng lớp Orlicz và không gian Orlicz. Chương 2: Một số tính chất chuẩn Orlicz, chương này trình bày về tính tương đương của chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg, các kết quả liên quan đến chuẩn Orlicz.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Các tính chất của chuẩn Orlicz trong không gian Orlicz ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THANH THÚYCÁC TÍNH CHẤT CỦA CHUẨN ORLICZ TRONG KHÔNG GIAN ORLICZ Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. VŨ NHẬT HUY Hà Nội - 2014Lời cám ơn Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơnchân thành và sâu sắc của mình tới TS. Vũ Nhật Huy, người thầy vô cùng mẫu mựcđã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tôi cũng xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong khoaToán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nộivà Khoa sau đại học, đã nhiệt tình truyền thụ kiến thức và tạo điều kiện giúp đỡ tôihoàn thành khóa Cao học. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn động viên và khuyếnkhích tôi rất nhiều trong thời gian nghiên cứu và học tập. Do mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế về thờigian thực hiện nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính mongnhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Hà Nội, năm 2015 Nguyễn Thanh Thúy 2Mục lụcMở đầu 41 KHÔNG GIAN ORLICZ 5 1.1 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Hàm Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Cặp hàm liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Lớp Orlicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Không gian Orlicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6 Chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 CÁC TÍNH CHẤT CHUẨN ORLICZ 26 2.1 Bất đẳng thức Kolmogorov-Stein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Tính tương đương của chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg . . . . . . . . 32 2.3 Công thức tính chuẩn Orlicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4 Định lý về hàm dịch chuyển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Kết luận 46Tài liệu tham khảo 46 3Mở đầu Năm 1931, W. Orlicz và Z.W. Birnbaum đã đề xuất một lớp không gian Banachmà ngay sau đó được chính Orlicz phát triển. Lớp không gian này ngày sau được gọilà không gian Orlicz.Lớp không gian Orlicz là một mở rộng của lớp không gian Lp vàđược xác định qua một hàm Young φ. Lý thuyết về không gian Orlicz có nhiều ứngdụng trong giải tích hàm, phương trình vi phân đạo hàm riêng, lý thuyết nhúng... Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm haichương: Chương 1: Không gian Orlicz. Chương này trình bày về hàm lồi, hàm Young,hàm Young liên hợp, đây là các khái niệm cơ bản để ta đi xây dựng lớp Orlicz và khônggian Orlicz, cũng trong chương này luận văn còn trình bày về chuẩn Orlicz và chuẩnLuxemburg, các kết quả liên quan đến chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg là cơ sở xâydựng chương sau. Chương 2: Một số tính chất chuẩn Orlicz. Chương này là nội dung cốt lõi củaluận văn, trong chương này luận văn trình bày về tính tương đương của chuẩn Orliczvà chuẩn Luxemburg, các kết quả liên quan đến chuẩn Orlicz, cũng trong chương nàyluận văn còn trình bày đến bất đẳng thức Kolmogorov-Stein đối với chuẩn Orlicz vàđịnh lý về hàm dịch chuyển. 4Chương 1KHÔNG GIAN ORLICZTrong chương này chúng tôi trình bày về các khái niệm và các kết quả cơ bản về khônggian Orlicz, các kết quả này được sử dụng để xây dựng và chứng minh các kết quả ởchương sau (xem [1, 3, 4]).1.1 Hàm lồiĐịnh nghĩa 1.1. Hàm φ : R → R được gọi là hàm lồi nếu φ (λx + (1 − λ) y) ≤ λφ (x) + (1 − λ) φ (y) ∀x, y ∈ R, λ ∈ [0; 1] .Định lý 1.1. Giả sử hàm φ : (a; b) → R. Khi đó, hàm φ là hàm lồi nếu và chỉ nếuvới mỗi đoạn con đóng [c; d] ⊂ (a; b), ta có Z x φ (x) = φ (c) + ϕ (t) dt với c ≤ x ≤ d, cở đây, ϕ : R → R là một hàm đơn điệu không giảm và liên tục trái. Ngoài ra, φ còncó đạo hàm trái và phải tại mỗi điểm thuộc (a; b) và các đạo hàm này chỉ khác nhautại không quá đếm được các điểm.Chứng minh. Điều kiện cần. Do φ là hàm lồi nên ta có φ (c1 ) − φ (c) φ (y) − φ (x) φ (d) − φ (d1 ) ≤ ≤ (1.1) c1 − c y−x d − d1∀c < c1 ≤ x < y ≤ d1 < d.Vậy ta có φ (c1 ) − φ (c) φ (d) − φ (d1 ) |φ (y) − φ (x)| ≤ K1 |y − x| với K1 = max ; . c1 − c d − d1 ...