Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương pháp Landweber phi tuyến giải bài toán đặt không chỉnh

Trong luận văn này, tác giả trình bày phương pháp lặp Landweber và các cải biên của nó để giải bài toán đặt không chỉnh. Luận văn đề cập đến sự hội tụ của phương pháp và tốc độ hội tụ của phép lặp trong trường hợp dữ liệu không có nhiễu hoặc có nhiễu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương pháp Landweber phi tuyến giải bài toán đặt không chỉnh ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ NGẦNPHƯƠNG PHÁP LANDWEBER PHI TUYẾN GIẢI BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2010 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ NGẦNPHƯƠNG PHÁP LANDWEBER PHI TUYẾN GIẢI BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH Chuyên ngành: Toán học tính toán Mã số: 60 46 30 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. PHẠM KỲ ANH Hà Nội - 2010Lời nói đầu Nhiều vấn đề trong khoa học, công nghệ, đưa đến những bài toán khôngchỉnh theo nghĩa nghiệm không ổn định với các dữ kiện ban đầu, một sựthay đổi nhỏ của dữ kiện ban đầu dẫn đễn sự thay đổi lớn về nghiệm, thậmchí dẫn đến bài toán vô nghiệm. Trong luận văn này, chúng tôi trình bày phương pháp lặp Landweber vàcác cải biên của nó để giải bài toán đặt không chỉnh. Luận văn đề cập đếnsự hội tụ của phương pháp và tốc độ hội tụ của phép lặp trong trường hợpdữ liệu không có nhiễu hoặc có nhiễu. Luận văn được viết thành ba chương. Chương 1 trình bày các khái niệmcơ bản sử dụng trong luận văn, như đạo hàm theo Fréchet, phổ của toán tửtuyến tính, và thang không gian Hilbert. Chương 2 trình bày các kết quảđã biết về phương pháp Landweber và được chia thành 3 phần. Phần 1chứng minh về sự hội tụ của phương pháp Landweber đối với phương trìnhtuyến tính. Các kết quả chính trong phần này là Định lý 2.1, 2.2. Phần 2là phần trọng tâm của chương này. Kết quả về sự hội tụ cho phương trìnhphi tuyến là Định lý 2.3 và 2.4. Kết quả chính về tốc độ hội tụ được thểhiện trong Định lý 2.6. Trong phần cuối của chương, chúng tôi trình bàymột ví dụ về ước lượng tham số khuyếch tán trong phương trình vi phân.Chương cuối cùng của luận văn trình bày các cải tiến của phương pháp lặpLandweber như phép lặp Landweber trong thang không gian Hilbert, phépchỉnh lặp Landweber, phương pháp lặp Landweber-Kaczmarz, và phép lặpLandweber song song. Các kết quả chính trong phần này được thể hiệnthông qua Mệnh đề 3.3, Định lý 3.1 đối với phép lặp trong thang khônggian Hilbert. Các kết quả đối với phép chỉnh lặp là các Định lý 3.3, 3.4,và 3.5. Định lý 3.6 là kết quả quan trọng đối với phép lặp Landweber-Kaczmarz. Để luận văn này được hoàn thành, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến tất cảcác thầy cô trong khoa Toán-Cơ-Tin, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên,Đại học Quốc gia Hà Nội. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các bạn trong lớp iCao học Toán Khóa 2008-2010, đặc biệt trong nhóm Toán học tính toán,những người đã giúp đỡ, đã cùng tôi chia sẻ về nhiều vấn đề trong học tậpcũng như trong cuộc sống. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến GS. TSKH. Phạm KỳAnh, người thầy đã tham gia giảng dạy và đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn,tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, 12-2010 Vũ Thị NgầnBảng ký hiệu h·, ·i Tích vô hướng trong không gian Hilbert X h·, ·is Tích vô hướng trong Xs k · ks Chuẩn trong Xs ||| · |||r Chuẩn trong Xer A∗ Toán tử liên hợp của toán tử A Bρ (x0 ) Hình cầu đóng tâm x0 , bán kính ρ C[a, b] Không gian các hàm liên tục trên [a, b] D(A) Miền xác định của toán tử A F Toán tử xác định trên X F 0 (x) Đạo hàm theo Fréchet tại x H k [0, 1] {x ∈ L2 [0, 1] : x(j) ∈ L2 [0, 1], j = 1, . . . , k} H01 [0, 1] {x ∈ L2 [0, 1] : x0 ∈ L2 [0, 1], x(0) = x(1) = 0} L2 [a, b] Không gian các hàm bình phương khả tích trên [a, b] N (A) Nhân của toán tử A R(A) Miền giá trị của toán tử A T† Toán tử nghịch đảo suy rộng x† Nghiệm suy rộng X Không gian Hilbert Xs Thang Hilbert cảm sinh bởi Ls Xer Thang Hilbert iiiMục lục1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . 2 1.2 Đạo hàm Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.3 Công thức số gia giới nội . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Phổ của toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...