Luận văn Thạc sĩ Toán học: Chỉnh hoá nghiệm một bài toán ngược trong phương trình nhiệt

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Chỉnh hoá nghiệm một bài toán ngược trong phương trình nhiệt giới thiệu tới các bạn những nội dung về biến đổi Laplace; phương trình nhiệt; thiết lập phương trình tích phân; chỉnh hoá nghiệm. Mời các bạn tham khảo luận văn để nắm bắt nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Chỉnh hoá nghiệm một bài toán ngược trong phương trình nhiệt BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HCM -------------------- NGUYỄN MAI VĨNH NGHI CHỈNH HOÁ NGHIỆM MỘT BÀI TOÁNNGƯỢC TRONG PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 Người hướng dẫn: TS. NGUYỄN CÔNG TÂM Khoa toán-tin học Đai Học Khoa Học Tự Nhiên Đại Học Quốc Gia TP. HCM Thành phố Hồ Chí Minh 2007 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn tôi, Tiến sĩ NguyễnCông Tâm, người đã bỏ nhiều công sức để hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn Tiến sĩ Nguyễn Thành Long, thầy đã thường xuyên đôn đốcvà chỉ dẫn tôi trong quá trình làm luận văn. Đăc biệt, trong các buổi seminar. Tôi xin chân thành cảm ơn bạn Dương Quang Hoà, lớp Cao Học Hình Học Khoá 15-Trường ĐHSP TP HCM đã giúp tôi kiểm tra một số chi tiết trong quá trình làm luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn anh Lê Hữu Thức, lớp Cao Học Giái Tích Khoá 15-TrườngĐHSP TP HCM đã giúp đỡ tôi trong quá trình soạn thảo luận văn. Nguyễn Mai Vĩnh Nghi Mở đầu Trong khoa học ứng dụng, nhu cầu khảo sát các bài toán ngược được được đặt ra từ lâu.Cho đến những năm 60 của thế kỉ trước, đồng thời với việc phát triển các công cụ toán học, cácbài toán ngược (hầu hết là không chỉnh) đã được các nhà toán học trên thế giới khảo sát mộtcách sâu rộng mà tiêu biểu là các công trình của Tikhonov, Lavrentiev, Lions,.Từ thời gian đócho đến nay, các bài toán ngược (không chỉnh) ngày càng được nhiều nhà toán học quan tâmdo những nhu cầu xuất phát từ thực tiễn cũng như từ sự đòi hỏi của các ngành khoa học ứngdụng khác, đặc biệt trong Kỹ nghệ, Y học, Vật lý Địa cầu. Bài toán cơ bản là vẽ lại các thông tin hữu ích từ các dữ liệu đo đạc vật lý bị nhiễu, ở đó tanhận được bài toán không chỉnh (chủ yếu là lời giải của bài toán không phụ thuộc liên tục vàodữ kiện) mà các phương pháp nội tại (từ mô hình toán học trực tiếp đo đạc được) dùng để ướclượng dẫn đến sự khếch đại không thế kiểm soát được của nhiễu. Thông thường, ta tìm mộthàm (xác định trên một miền thích hợp) hội tụ đến hàm chính xác, và như đã nói ở trên, sựkhuếch đại của nhiễu (theo ngôn ngữ toán học, thường nguyên nhân này là do cố gắng nghịchđảo một toán tử mà ngược của nó không bị chận)-xuất hiện khách quan trong quá trình đo đạclàm cho các kết quả tính toán vì vậy mà không có giá trị, những “kết quả” này che dấu lời giảichính xác dưới các dao động với tần số cao, biên độ lớn. Nhiều phương pháp khác nhau đã được sử dụng để chỉnh hoá. Bằng cách khai thác cácthông tin phụ về hàm chưa biết, chẳng hạn như các giả thiết về “tính trơn”. Một phương phápnhư vây được phát triển bởi Tikhonov và Phillips ( cực tiểu hoá phiếm hàm quadratic bao gồmđạo hàm bậc cao trong việc cố gắng tái tạo dữ liệu đo đạc). Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát một bài toán ngược trong phương trình nhiệt và sửdụng phương pháp Tikhonov để chỉnh hoá nghiệm. Cụ thể, chúng tôi chuyển bài toán khảo sátvề việc giải một phương trình tích phân Fredholm loại một : Aw  Ftrong đó A là một toán tử giữa hai không gian Hilbert, A : H  H1với H  L2    ,    0,   , H1  L2  0,1 . Các đóng góp của luận văn là: Đã chuyển được bài toán khảo sát về phương trình tích phân Fredholm loại một. Chứng minh được rằng A : H  H1 là toán tử tuyến tính liên tục. Chứng minh được rằng vế phải F của phương trình Aw  F thuộc L2  0,1 . Ở đây, Fđược xác định từ dữ kiện cuối và các dữ kiện biên của phương trình nhiệt. Chúng tôi cũng đưa ra được đánh giá cho chuẩn của toán tử A , đối với chuẩn A H  H . 1 Bài toán nhiệt sau đây được chúng tôi khảo sát: Tìm hàm w  x  thoả ut  u xx  f  x, t  , x  0, 0  t  1 , (0.1) u  x,0   w  x  , x  0, (0.2) u  0, t   g  t  , 0  t  1, (0.3) u x  0, t   h  t  , 0  t  1, (0.4)trong đó f , g , h là các hàm cho trước. Xét bài toán ut  u xx  f  x, t  , x  0, t  0,   I  u  x,0   w  ...