Một số bất đẳng thức hình học trong tam giác

Mục đích của bài viết "Một số bất đẳng thức hình học trong tam giác" là trình bày một số các bất đẳng thức kinh điển và bất đẳng thức mới trong tam giác, giúp người dạy và học Toán ở bậc phổ thông có thêm tư liệu phục vụ cho công việc giảng dạy và học tập. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài viết!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số bất đẳng thức hình học trong tam giác Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG TAM GIÁC Nguyễn Văn Ngọc Trường Đại học Thăng Long Tóm tắt nội dung1 Mở đầu Bất đẳng thức hình học nói chung và vất đẳng thức trong tam giác nói riêng là chuyênmục khó trong lĩnh vực Toán Phổ thông, nhưng lại có sức hấp dẫn kỳ lạ, bởi vì các bấtđẳng thức này không chỉ có ý nghĩa về nội dung mà còn khá đẹp về hình thức và đòi hỏinhiều sáng tạo. Bất đẳng thức trong tam giác là chuyên mục lý thú, hấp dẫn nhiều thế hệ nhữngchuyên gia toán học, những người dạy và người học toán trong các trường cấp Trunghọc ở khắp nới trên Thế giới. Hầu hết các bất đẳng thức trong tam giác hiện nay có trong các tài liệu chuyên khảođã được tìm ra từ nhiều thế kỷ trước, nhất là Thế kỷ 20. Các bất đẳng thức này có thể tìmthấy trong nhiều tài liệu, thí dụ như các tài liệu [1] và [5]. Nhiều bất đẳng thức trong tam giác mới được tìm ra trong khoảng vài thập niên gầnđây (xem, [3, 4, 7,6] và các tài liệu trong đó), nhưng chưa được hệ thống và giới thiệu ởViệt Nam. Mục đích của bài viết này là trình bày một số các bất đẳng thức kinh điển vàbất đẳng thức mới trong tam giác, giúp người dạy và học Toán ở bậc phổ thông có thêmtư liệu phục vụ cho công việc giảng dạy và học tập.2 Bổ trợ2.1 Các bất đẳng thức kinh điển của dãy số Chúng ta sẽ cần đến các bất đẳng thức quan trọng sau đâyĐịnh lý 2.1. (Bất đẳng thức AM − GM).Với n số thực không âm bất kì a1 , a2 , . . . , an , ta có bấtđẳng thức a1 + a2 + . . . + a n √ > n a1 .a2 . . . . .an nĐẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = . . . = an 1 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019Định lý 2.2 (Bất đẳng thức lũy thừa). Với mọi bộ số không âm a1 , a2 , . . . , an và m = 1, 2, . . .ta đều có a1m + a2m + . . . + am a1 + a2 + · · · + a n m n > n nĐịnh lý 2.3 (Bất đẳng thức Cauchy - Schawrz). Xét hai bộ số thực tùy ý a1 , a2 , · · · , an vàb1 , b2 , · · · , bn . Khi đó ta có ( a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 6 ( a21 + a22 + · · · + a2n )(b12 + b22 + · · · + bn2 ), a1 a2 anĐẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = = ··· = . b1 b2 bn(Với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0).Định lý 2.4 (Minkovskii). Với hai bộ số thực { ak }nk=1 , {bk }nk=1 có bất đẳng thức s s n q n 2 n 2 ∑ a2k + bk2 ≤ ∑ ak + ∑ bk . k =1 k =1 k =12.2 Các đại lượng và định lý thông dụng của một tam giác Trong phần này ta luôn giả sử tam giác ABC có: • BC = a, CA = b, AB = c; • S là diện tích tam giác; • p là nửa chu vi tam giác; • m a , mb , mc , wa , wb , wc , h a , hb , hc lần lượt là độ dài các trung tuyến, các phân giác và các đường cao tương ứng với các cạnh a, b, c; • r, R, r a , rb , rc lần lượt là các bán kính đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp, đường tròn bàng tiếp với các cạnh a, b, c của tam giác ABC. • ∑ a = a + b + c.Định lý 2.5 (Định lý hàm số sin). Trong mọi tam giác ABC có hệ thức a b a = = = 2R. sin A sin B sin AĐịnh lý 2.6 (Định lý hàm số cosin). Trong mọi tam giác ABC có hệ thức a2 = b2 + c2 − 2bc cos A, b2 = c2 + a2 − 2ca cos B, c2 = a2 + b2 − 2ab cos C.Như một hệ quả của Định lý hàm số cosin, ta có khẳng định Địnhnlý Pitago nổi tiếngĐịnh lý 2.7 (Định lý Pitago). Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi a2 = b2 + c2 . 2 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019Định lý 2.8 (Định lý Apollonius-Pappus). Tam giác ABC có các ...