Một số phương pháp giải hệ phương trình

Đặc điểm chung của dạng hệ phương trình này là sử dụng các kỹ năng biến đổi đồng nhất. Đặc biệt, là kỹ năng phân tích nhằm đưa một phương trình trong hệ về dạng đơn giản ( có thể rút theo y hoặc ngược lại ) rồi thế vào phương trình còn lại trong hệ. Dạng 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x hoặc ẩn y. Khi đó, ta tìm cách rút y theo x hoặc ngược lại
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số phương pháp giải hệ phương trìnhdungtien@gmail.com sent to www.laisac.page.tl MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI NGUYEN VAN RIN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH  I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG: Đặc điểm chung của dạng hệ phương trình này là sử dụng các kỹ năng biến đổi đồng nhất. Đặc biệt, là kỹ năng phân tích nhằm đưa một phương trình trong hệ về dạng đơn giản ( có thể rút theo y hoặc ngược lại ) rồi thế vào phương trình còn lại trong hệ.  Dạng 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x hoặc ẩn y. Khi đó, ta tìm cách rút y theo x hoặc ngược lại.  x 2 ( y  1)( x  y  1)  3 x 2  4 x  1 (1)  Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  2  xy  x  1  x (2)  Giải: Dễ thấy x=0 không thỏa mãn phương trình (2) nên từ (2) ta có: x2 1 thay vào (1) ta được: y 1  x x2 1 x2 1 x2. )  3x 2  4 x  1  ( x 2  1)(2 x 2  1)  ( x  1)(3x  1) (x  x x  ( x  1)(2 x  2 x 2  x  1)  ( x  1)(3 x  1)  ( x  1)(2 x 3  2 x 2  4 x)  0 3 x  1   x  0 (loại)   x  2   Dạng 2: Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các phương trình bậc nhất hai ẩn.  xy  x  y  x 2  2 y 2 (1)  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  x 2 y  y x 1  2x  2 y (2)  Giải: Điều kiện: x  1; y  0 . (1)  x 2  xy  2 y 2  ( x  y )  0  ( x  y )( x  2 y )  ( x  y )  0 ( từ ĐK ta có x+y>0)  x  2 y  1  0  x  2 y  1 thay vào phương trình (2) ta được: y 2 x  2 y  2 y  2  ( y  1)( 2 y  2)  0 ( do y  0 )  y  2  x  5 .  Dạng 3: Đưa một phương trình trong hệ về dạng phương trình bậc hai một ẩn, ẩn còn lại là tham số. 1 MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI 2  y  (5 x  4)(4  x ) (1)Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:  2 2  y  5 x  4 xy  16 x  8 y  16  0 (2)  2 2Giải: Biến đổi phương trình (2) về dạng y  (4 x  8) y  5 x  16 x  16  0Coi phương trình trên là phương trình ẩn y tham số x ta có   9 x 2 từ đó ta được  y  5 x  4 (3)nghiệm   y  4  x (4) 4  x   5  y  0 2Thay (3) vào (1) ta được: (5 x  4)  (5 x  4)(4  x)   x  0  y  4 x  4  y  0Thay (4) vào (1) ta được: (4  x) 2  (5 x  4)(4  x )   x  0  y  4 4Vậy nghiệm của hệ là: (0; 4), (4; 0), ( ; 0) . 5 II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤĐiểm quan trọng nhất trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụa  f ( x; y ), b  g ( x; y ) có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau mộtphép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia cho một biểu thức khác 0.  x 2  1  y ( y  x)  4 y (1) Ví dụ 4: Giải hệ phương trình  2 ( x  1)( y  x  2)  y (2)   x2  1  y  yx4 Dễ thấy y=1 không thỏa mãn phương trình (1) nên HPT   2  x  1 ( y  x  2)  1 y  2 a  b  2 x 1Đặt a  ;b  y  x  2   y ab  1 x2  1  yGiải hệ ta được a=b=1 từ đó ta có hệ phương trình  x  y  3Hệ này bạn đọc có thể giải dễ dàng. 3  4 xy  4( ...