Ổn định mũ của hệ phương trình sai phân có chậm trong không gian Banach

Bài viết trình bày điều kiện ổn định mũ của các hệ phương trình sai phân phụ thuộc thời gian có chậm, với biến liên tục, hệphương trình sai phân ngẫu nhiên trong không gian Banach. Để nắm nội dung mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ổn định mũ của hệ phương trình sai phân có chậm trong không gian BanachAn Giang University Journal of Science – 2017, Vol. 15 (3), 70 – 79ỔN ĐỊNH MŨ CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CÓ CHẬMTRONG KHÔNG GIAN BANACHLê Trung Hiếu1, Huỳnh Ngọc Cảm1, Bùi Thị Mộng Ngân1Trường Đại học Đồng Tháp1Thông tin chung:Ngày nhận bài: 28/11/2016Ngày nhận kết quả bình duyệt:22/02/2017Ngày chấp nhận đăng: 06/2017Title:The exponential stability ofdelay equation systemsregarding BanachKeywords:Sustainable conditions,exponential stability, wholeexponential stability, thedelay equation systems,BanachTừ khóa:Điều kiện ổn định; ổn địnhmũ, ổn định mũ toàn cục,phương trình sai phân cóchậm, không gian BanachABSTRACTRecently, many authors have published many conditions for the exponentialstability of different equation systems in the slow space. However,when theequation systems were considered in Banach with no order, most of their resultscould not be applied. Therefore, we have applied some of the above results intoBanach. Then, we could obtainsomenewsufficientconditionsfor the exponential stability because of nonlinear and linear time togetherwith the delayed application of Banach. We also gave an example to illustratethe results in the case of applying the infinite-dimension of Banach toshow unique limitations.TÓM TẮTGần đây, nhiều tác giả đã công bố nhiều điều kiện cho tính ổn định mũ của cáchệ phương trình sai phân (PTSP) có chậm trong không gian. Tuy nhiên, khi xéthệ PTSP trong không gian Banach tổng quát không được trang bị quan hệ thứtự thì phần lớn các kết quả này không áp dụng được. Do đó, chúng tôi mở rộngmột số kết quả nêu trên sang không gian Banach tổng quát, từ đó chúng tôi đạtđược một số điều kiện đủ mới cho tính ổn định mũ của các hệ PTSP có chậmphi tuyến và tuyến tính phụ thuộc thời gian trong không gian Banach. Chúng tôiđưa ra ví dụ áp dụng cho kết quả đạt được trong trường hợp không gianBanach vô hạn chiều để thấy kết quả được phát biểu trong không gian còn hạnchế.1. MỞ ĐẦUTrong những thập niên gần đây, lý thuyết phươngtrình sai phân (PTSP) đã có những bước phát triểnvượt bật và là đối tượng nghiên cứu trong nhiềulĩnh vực khác nhau. Bởi tính ứng dụng trongnhiều ngành khoa học và kĩ thuật, các bài toán ổnđịnh và ổn định vững (robust stability) của PTSPđã thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhànghiên cứu trên thế giới. Trong các kết quả nghiêncứu về lí thuyết cũng như ứng dụng, lớp PTSP cóchậm là lớp phương trình phổ biến và được khaithác nhiều nhất. Suốt những thập niên qua, các bàitoán ổn định, ổn định vững của các PTSP có chậmđược nghiên cứu rộng rãi trên các dạng khônggian nền khác nhau như không gian thực (Hieu, 2015; Hinrichsen, Son & Ngoc, 2003;Ngoc & Hieu, 2013; Udpin & Niamsup, 2009),một số dạng không gian Banach vô hạn chiều đặcbiệt và không gian Banach tổng quát (Agarwal,Thompson & Tisdell, 2003; Gil, 2007; Murakami& Yutaka, 2008), bởi nhiều phương pháp tiếp cậnkhác nhau.n70An Giang University Journal of Science – 2017, Vol. 15 (3), 70 – 79Một số phương pháp tiếp cận cho bài toán ổn địnhcủa các PTSP có chậm có thể kể như phươngpháp hàm Lyapunov và một số biến dạng của nónhư hàm Lyapunov-Krasovskii và hàmLyapunov-Razumikhin, phương pháp đa thức đặctrưng, phương pháp sử dụng các nguyên lý ánh xạco và các định lí điểm bất động, phương pháp sửdụng các dạng bất đẳng thức Halanay rời rạc,…Trong đó, phương pháp tiếp cận truyền thốngđược sử dụng rộng rãi vẫn là phương pháp hàmLyapunov. Tuy nhiên, đối với các lớp phươngtrình phụ thuộc thời gian (time-varying), đặc biệtlà các phương trình phi tuyến, rất khó để thiếtlập được các hàm Lyapunov. Hơn thế nữa, các kếtquả thu được từ phương pháp hàm Lyapunovthường được cho dưới dạng các bất đẳng thức matrận phức tạp và khó sử dụng (Hieu, 2015). Ngoàira, mỗi phương pháp tiếp cận nói trên đều cónhững hạn chế nhất định và thường chỉ phù hợpvới một số lớp phương trình cụ thể.Từ vấn đề nêu trên, việc nghiên cứu phát triển cáckĩ thuật đã có để nghiên cứu đưa ra các điều kiệntường minh mới cho tính ổn định của các PTSP cóchậm phụ thuộc thời gian, đặc biệt là các phươngtrình phi tuyến phụ thuộc thời gian, là vấn đề mởcó ý nghĩa khoa học. Vấn đề này đã được đề cậpvà nghiên cứu một phần trong Hieu (2015), Liz(2011), Ngoc & Hieu (2013), Udpin & Niamsup(2009). Cụ thể, các tác giả đã vận dụng ý tưởng sosánh nghiệm và phương pháp tiếp cận khác màkhông dùng phương pháp hàm Liapunov, từ đóđưa ra nhiều điều kiện tường minh cho tính ổnđịnh của PTSP phụ thuộc thời gian trong khônggian  và  n . Tuy nhiên, khi xét hệ PTSP trongkhông gian Banach vô hạn chiều hoặc không gianBanach tổng quát không có trang bị quan hệ thứtự thì phần lớn các kết quả này không thể áp dụngđược.và thay đổi điều kiện tương ứng. Cụ thể, chúng tôimở rộng một số kết quả trong nghiên cứu củaNgoc & Hieu (2013) về các điều kiện ổn định củahệ PTSP có chậm trong không gian thực thành một số điều kiện tổng quát hơn khi hệ PTSPđược xét trong không gian Banach tổng quát. Từđó, chúng tôi đạt được một số điều kiện ổn địnhmũ tường minh mới của hệ PTSP phi tuyến vàtuyến tính có chậm phụ thuộc thời gian trongkhông gian Banach. Cuối cùng, chúng tôi đưa ramột ví dụ cụ thể về điều kiện ổn định của hệPTSP có chậm trong không gian Banach vô hạnnchiều để thấy rằng kết quả trong  còn hạn chếvà không sử dụng được đối với phương trình này.Kết quả đạt được còn là mở rộng của một số kếtquả đã có trong Liz (2011), Udpin & Niamsup(2009) như là một trường hợp đặc biệt.nSau đây, chúng tôi trình bày một số kí hiệu đượcsử dụng trong bài báo này. Gọi , ,  lần lượtlà vành các số nguyên, trường các số thực vàtrường các số phức. Kí hiệu  + là tập hợp các sốnguyên không âm. Với k1 , k2 ∈  + , kí hiệu[ k1 ,k2 ] là tập các số nguyên thuộc đoạn [k1 , k2 ].Với hai số nguyên dương l và q, kí hiệu l ×qvà l+×q lần lượt là tập hợp các m ...