Sử dụng lý thuyết đại số giải một số bài toán trong hình học

Lý thuyết về không gian véc tơ trong đại số tuyến tính có vai trò rất quan trọng. Bài báo này trình bày một số phép biến đổi affine dựa trên phép đổi cơ sở trong không gian véc tơ. Trong phần cuối có đưa ra một số ví dụ minh hoạ và mã nguồn được viết bằng ngôn ngữ C++.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Sử dụng lý thuyết đại số giải một số bài toán trong hình họcÔn Ngũ MinhTạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ78(02): 8 - 11SỬ DỤNG LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG HÌNH HỌCÔn Ngũ Minh*Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp – ĐHTNTÓM TẮTLý thuyết về không gian véc tơ trong đại số tuyến tính có vai trò rất quan trọng. Bài báo này trìnhbày một số phép biến đổi affine dựa trên phép đổi cơ sở trong không gian véc tơ. Trong phần cuốicó đưa ra một số ví dụ minh hoạ và mã nguồn được viết bằng ngôn ngữ C++.Từ khoá: Phép tịnh tiến song song, phép xoay quanh gốc toạ độ, toạ độ homogenMỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN*1. Phép tịnh tiến song songGiả sử M(x, y) là điểm bất kỳ. Xác định toạ độcủa M trong hệ Oxy với O có toạ độ (x0, y0)và các trục toạ độ của hai hệ đồng phươngchiều.Gọi (x, y) là toạ độ của M trong hệ trục Oxy.Khi đó x   x   x 0  y    y   y      0 x   x    x 0 (1) y   y     y      0Nhưng để thực hiện được bởi phép nhân matrận, ta sử dụng toạ độ homogen, khi đó (1)được viết lại dưới dạng: x   1 0  x 0   x  y   0 1  y   y 0    1  0 0 1   1 hay x  1 0  x 0   x x ta có  y   0 1  y0   y   H1  y  1  0 0 1   1  1 2. Phép xoay hệ Oxy quanh gốc toạ độGiả sử M(x, y) là điểm bất kỳ. Xác định toạ độcủa M trong hệ Oxy nhận được từ hệ Oxysau khi xoay theo chiều dương một góc .Trong R2, xét hai cơ sở:S = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} vàS = {e1 = (cos, sin), e2 = (–sin, cos)}*Tel: 09133512868Rõ ràng e1 và e2 tương ứng là các véc tơ đơnvị của các trục Ox và Oy, còn e1 và e2 tươngứng là các véc tơ đơn vị của các trục Ox vàOy. Dễ thấy, ma trận của phép biến đổi từ cơsở S sang cơ sở S chính là cos  sin  P = sin  cos Vì là phép biến đổi trực giao nên P–1 = Pt, dođó sử dụng toạ độ homogen ta có: x   cos sin  0   x x  y    sin  cos 0   y   H  y 2     1   0 1 01   1 3. Phép lấy đối xứng qua trục OxGọi M(x, y) là điểm đối xứng của điểm M(x,y) qua trục Ox, dễ thấy x = x, y = –y. TrongR2, xét hai cơ sở:S = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)}vàS = {e1 = (1,0), e2 = (0, –1)}Dễ thấy, ma trận của phép biến đổi từ cơ sở Ssang cơ sở S chính là:1 0 P =0 1Viết theo toạ độ homogen ta có x  1 0 0   x x  y   0 1 0   y   H  y  .3     1  0 0 1   1  1 MỘT SỐ ỨNG DỤNG1. Xác định toạ độ của điểm N(xN, yN) là đốixứng của điểm M(x, y) qua đường thẳng cóphương trình y = ax + bTa thực hiện 5 bước sau:Ôn Ngũ MinhTạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆa) Tịnh tiến song song Oxy thành Oxy vớiO có toạ độ (0, b)Toạ độ mới của M(x, y) được tính theo côngthức x x  y   A  y  , với A =   1  1 1 0 0 0 1 b 0 0 1 b) Xoay hệ Oxy quanh gốc O theo chiềudương một góc  = atan(a) thành hệ OxyToạ độ mới của M(x, y) được tính theocông thức x x x  y  H  y  = H A  y 2 2   1  1  1 c) Lấy đối xứng qua trục OxGọi (xN, yN) là toạ độ của N trong hệ trụcOxy, khi đóx  x N  x y   H  y = H H A  y 33 2 N   1  1  1 d) Xoay hệ Oxy quanh gốc O theo chiềuâm một góc  thành hệ OxyToạ độ của N trong hệ Oxy được tính theocông thức x N  x N x  y   H t  y  = H t H H A  y 2  N 23 2 N   1  1  1 e) Tịnh tiến O về O, nhận được hệ trục banđầu OxyToạ độ của N trong hệ Oxy được tính theocông thức x N  1 0 0   x N x  y   0 1 b   y  = H H t H H A  y  ,4 23 2 N  N   1  0 0 1   1  1 Dễ kiểm tra lại rằng H = H4H2tH3H2A =b sin 2 cos 2 sin 2= sin 2  cos 2 b(1  cos 2) . 00178(02): 8 - 11Vậy toạ độ của điểm N đối xứng với M(x, y)qua đường thẳng y = ax + b là x N  xcos2  ysin2  bsin 2 y N  x sin 2  ycos2  b 1  cos2  x N  x cos 2   y  b  sin 2 y N  x sin 2   y  b  cos 2  bhay Đó chính là công thức chúng ta cần tìm.2. Xác định toạ độ điểm N(xN, yN) nhận đượcbằng cách xoay điểm M(x, y) quanh điểm (x0,y0) một góc Ta thực hiện 3 bước sau:a) Tịnh tiến song song Oxy thành Oxy vớiO có toạ độ (x0, y0)Toạ độ mới của M(x, y) được tính theo côngthức x x  y   H  y  ,1   1  1 b) Xoay hệ Oxy quanh gốc O theo chiềudương một góc – thành hệ OxyToạ độ mới của M(x, y) được tính theocông thức x x x  y  H t  y  = H t H  y 2  21   1  1  1 c) Tịnh tiến O về O, nhận được hệ trục banđầu OxyToạ độ của N trong hệ Oxy được tính theocông thức x N  1 0 x 0   x N x  y   0 1 y   y  = H H t H  y  =0 N 5 21  N  1  0 0 1   1  1  cos ...