Toán học lớp 10: Mở đầu về bất đẳng thức - Thầy Đặng Việt Hùng

Tài liệu "Toán học lớp 10: Mở đầu về bất đẳng thức - Thầy Đặng Việt Hùng" tóm lược nội dung cần thiết và cung cấp 1 số bài tập ví dụ hữu ích, giúp các bạn củng cố và nắm kiến thức về bất đẳng thức.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Toán học lớp 10: Mở đầu về bất đẳng thức - Thầy Đặng Việt HùngKhóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 01. MỞ ĐẦU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]Bài 1: [ĐVH]. Cho các số thực a, b, c . Chứng minh các bất đẳng thức sau:a) a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2(a + b + c) b) a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b Hướng dẫn giải:a) BDT ⇔ (a − 1)2 + (b − 1)2 + (c − 1)2 ≥ 0b) BDT ⇔ (a − b)2 + (a − 1)2 + (b − 1)2 ≥ 0Bài 2: [ĐVH]. Cho các số thực a, b, c . Chứng minh các bất đẳng thức sau:a) a2 + b2 + c 2 ≥ 2(ab + bc − ca) b) a 4 + b 4 + c 2 + 1 ≥ 2a(ab2 − a + c + 1) Hướng dẫn giải:a) BDT ⇔ (a − b + c)2 ≥ 0b) BDT ⇔ (a2 − b2 )2 + (a − c)2 + (a − 1)2 ≥ 0Bài 3: [ĐVH]. Cho các số thực a, b, c, d , e . Chứng minh các bất đẳng thức sau: a2a) + b2 + c2 ≥ ab − ac + 2bc b) a2 + b2 + c 2 + d 2 + e2 ≥ a(b + c + d + e) 4 Hướng dẫn giải: 2 a a) BDT ⇔  − (b − c)  ≥ 0 2  2 2 2 2 a  a  a  a b) BDT ⇔  − b  +  − c  +  − d  +  − e  ≥ 0 2  2  2  2 Bài 4: [ĐVH]. Cho các số thực a, b, c . Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1 1 1 1 1 1a) + + ≥ + + b) a + b + c ≥ ab + bc + ca với a, b, c ≥ 0 a b c ab bc ca Hướng dẫn giải: 2 2 2  1 1   1 1   1 1 a) BDT ⇔  −  + −  + −  ≥0  a b  b c  c a 2 2 2b) BDT ⇔ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ 0Bài 5: [ĐVH]. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 3 a3 + b3  a + b a) ≥  ; với a, b ≥ 0 b) a3 + b3 + c3 ≥ 3abc , với a, b, c > 0. 2  2  Hướng dẫn giải: 3a) BDT ⇔ (a + b)(a − b) 2 ≥ 0 8b) Sử dụng hằng đẳng thức a3 + b3 = (a + b)3 − 3a2 b − 3ab2 .Khi đó, BĐT ⇔ (a + b + c)  a2 + b2 + c2 − (ab + bc + ca) ≥ 0 .Bài 6: [ĐVH]. Cho các số thực a, b . Chứng minh các bất đẳng thức sau: Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 a6 b6a) a 4 + 3 ≥ 4a b) a 4 + b 4 ≤ + ; với a, b ≠ 0. b2 a2 Hướng dẫn giải:a) BDT ⇔ (a − 1) (a + 2a + 3) ≥ 0 2 2b) BDT ⇔ (a 2 − b 2 ) 2 (a 4 + a 2b 2 + b 4 ) ≥ 0Bài 7: [ĐVH]. Cho các số thực a, b, c, d , e . Chứng minh các bất đẳng thức sau: a2 + 3a) >2 b) (a5 + b5 )(a + b) ≥ (a 4 + b 4 )(a2 + b2 ); ab > 0 a2 + 2 Hướng dẫn giải:a) BDT ⇔ (a 2 + 1) 2 > 0b) BDT ⇔ ab(a − b)(a 3 − b3 ) ≥ 0Bài 8: [ĐVH]. Cho a, b, c, d ∈ R. Chứng minh rằng a2 + b2 ≥ 2ab (1).Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:a) a 4 + b 4 + c 4 + d 4 ≥ 4 abcdb) (a2 + 1)(b2 + 1)(c 2 + 1) ≥ 8abcc) (a2 + 4)(b2 + 4)(c 2 + 4)(d 2 + 4) ≥ 256abcd Hướng dẫn giải:a) a 4 + b 4 ≥ 2a2 b2 ; c 2 + d 2 ≥ 2c 2 d 2 ; a2 b2 + c 2 d 2 ≥ 2abcdb) a2 + 1 ≥ 2a; b2 + 1 ≥ 2b; c2 + 1 ≥ 2cc) a2 + 4 ≥ 4a; b2 + 4 ≥ 4b; c2 + 4 ≥ 4c; d 2 + 4 ≥ 4dBài 9: [ĐVH]. Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh bất đẳng thức: a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca (1). Áp dụng chứngminh các bất đảng thức sau: 2 a2 + b2 + c2  a + b + c a) (a + b + c) ≤ 3(a + b + c ) 2 2 2 2 b) ≥  3  3 c) (a + b + c) 2 ≥ 3(ab + bc + ca) d) a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc(a + b + c) a+b+c ab + bc + cae) ≥ với a, b, c > 0. f) a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc nếu a + b + c = 1 3 3Bài 10: [ĐVH]. Cho a, b ≥ 0 . Chứng minh bất đẳng thức: a3 + b3 ≥ a 2b + b 2 a = ab(a + b) (1).Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau: 1 1 1 1a) 3 3 + 3 3 + 3 3 ≤ ; với a, b, c > 0. a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc 1 1 1b) 3 3 + 3 3 + 3 ≤ 1 ; với a, b, c > 0 và abc = 1. a + b + 1 b + c + 1 c + a3 + 1 1 1 1c) + + ≤ 1 ; với a, b, c > 0 và abc = 1. a + b +1 b + c +1 c + a +1d) 3 4(a3 + b3 ) + 3 4(b3 + c3 ) + 3 4(c3 + a3 ) ≥ 2(a + b + c) ; với a, b, c ≥ 0 . Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! ...