Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Sử dụng phương pháp lyapunov để nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính bị nhiễu

Mục đích của bản luận văn này là trình bày lại một số kết quả liên quan tới việc phát triển và cải tiến các phương pháp quen thuộc đã biết trong lý thuyết định tính của phương trình vi phân (chẳng hạn phương pháp số mũ Lyapunov hay phương pháp tập bất biến của hệ động lực) và sử dụng chúng cho việc nghiên cứu tính ổn định của chuyển động theo Lyapunov hoặc theo Lagrange.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Sử dụng phương pháp lyapunov để nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính bị nhiễu ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - HÀ THỊ LY SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨUTÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BỊ NHIỄU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - HÀ THỊ LY SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨUTÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BỊ NHIỄU Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - 2015Mục lụcMở đầu 31 Sử dụng các phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân. 5 1.1 Khái niệm về tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân 6 1.1.1 Hệ rút gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Các khái niệm về ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Định nghĩa và các tính chất chính của số mũ đặc trưng Lyapunov 8 1.3 Số mũ đặc trưng của hàm ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Phổ Lyapunov và phép biến đổi Lyapunov đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1 Phổ của hệ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2 Phép biến đổi Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.3 Một số ví dụ về phương pháp số mũ . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Phương pháp hàm Lyapunov trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.1 Các hàm xác định dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.2 Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định . . . . . . . 16 1.5.3 Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận . . . 17 1.5.4 Định lý thứ ba của Lyapunov về sự không ổn định . . . . . 17 1.6 Các ví dụ về phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . 172 Sử dụng phương pháp số đặc trưng Lyapunov- Badanov để nghiên cứu tính ổn định của các hệ động lực 20 2.1 Định nghĩa hệ động lực trên thang thời gian đều và một vài khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.1 Định nghĩa hệ động lực trên thang thời gian đều . . . . . . 21 2.1.2 Định nghĩa tập bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.3 Tập ω− giới hạn của hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.4 Chuyển động ổn định theo Lagrange . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.5 Điểm đứng yên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Khái niệm số đặc trưng tổng quát Lyapunov - Badanov. . . . . . 22 2.2.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.2 Tính ổn định của tập V của hệ động lực f (p, t) . . . . . . . 24 1 2.2.3 Các ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Kết luận 30 2Mở đầu Trong các mô hình ứng dụng của lý thuyết phương trình vi phân, chúng tathường gặp các bài toán liên quan đến các hệ phương trình vi phân phi tuyếnhoặc một tập nghiệm nào đó của các phương trình vi phân. Trong các trườnghợp này nếu sử dụng các phương pháp thông thường để nghiên cứu hệ động lựctuyến tính hoặc hệ phương trình vi phân tuyến tính có thể sẽ gặp nhiều khókhăn, phức tạp. Từ lâu, người ta đã xây dựng được nhiều phương pháp khácnhau để vượt qua các khó khăn trên (xem [4], [8], [1] ). Mục đích của bản luận văn này là trình bày lại một số kết quả liên quan tớiviệc phát triển và cải tiến các phương pháp quen thuộc đã biết trong lý thuyếtđịnh tính của phương trình vi phân (chẳng hạn phương pháp số mũ Lyapunovhay phương pháp tập bất biến của hệ động lực ) và sử dụng chúng cho việcnghiên cứu tính ổn định của chuyển động theo Lyapunov hoặc theo Lagrange. Nội dung của luận văn có thể chia làm hai phần chính - Phần thứ nhất trình b ...