Luận văn Thạc sĩ Toán học: Dáng điệu tiệm cận của định thức các ma trận ngẫu nhiên

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Dáng điệu tiệm cận của định thức các ma trận ngẫu nhiên tập trung tìm hiểu về dáng điệu tiệm cận của định thức các ma trận Laguerre và Jacobi. Đây là tài liệu hữu ích dành cho các bạn chuyên ngành Toán học.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Dáng điệu tiệm cận của định thức các ma trận ngẫu nhiên BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Lê Toàn Nhật Linh DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨCCÁC MA TRẬN NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Lê Toàn Nhật Linh DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨCCÁC MA TRẬN NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn GS. TS Đặng Đức Trọng. Thầyđã dành nhiều thời gian và công sức hướng dẫn em thực hiện luận văn. Có aiđó đã nói rằng: “ép một người uống nước không bằng làm cho người đókhát”, chính những lần seminar, những vấn đề và những câu hỏi thầy đặt rađã làm em khát thật sự. Điều này tiếp thêm động lực cho em, một học viênchuyên ngành giải tích, bước đầu tiếp xúc với toán thống kê có thể từng bướcthực hiện và hoàn thành đề tài. Em xin gửi lời cảm ơn đến TS. Chu Đức Khánh, TS. Đinh Ngọc Thanh,hai thầy đã tạo điều kiện và góp nhiều ý kiến quý báo trong quá trình emthực hiện luận văn. Em cũng xin cảm ơn anh Dương Thanh Phong, bạn CaoThị Hồng Nhung và các anh chị trong nhóm seminar đã trao đổi với em về đềtài này. Em cảm ơn các thầy trong Khoa Toán – tin trường Đại học Sư phạmTPHCM, đã tận tình giảng dạy chúng em, cùng các thầy cô Phòng Sau đạihọc đã tạo điều kiện cho chúng em trong hai năm học Cao học vừa qua. Con xin gửi những tình cảm thân thương nhất đến ba mẹ. Ba mẹ luônquan tâm và dõi theo sự trưởng thành của con. Ba mẹ là bến đổ bình yên nhấttrong những lần con gặp khó khăn. Ba mẹ là điểm tựa vững chắc nhất để contiếp tục cố gắng. Con thương ba mẹ nhiều lắm. Nguyễn Lê Toàn Nhật Linh MỤC LỤCLỜI CẢM ƠNPHẦN MỞ ĐẦUChương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ............................................................................... 1 1.1. Thống kê.............................................................................................................. 1 1.2. Jacobians của phép biến đổi trong  ............................................................... 4 m 1.3. Giải tích phức ...................................................................................................... 7 1.4. Quá trình ngẫu nhiên ......................................................................................... 16Chương 2: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC MA TRẬN LAGUERRE .. 29 2.1. Phân phối của định thức ma trận Laguerre ...................................................... 29 2.1.1. Ma trận Laguerre ....................................................................................... 29 2.1.2. Hàm mật độ đồng thời của các giá trị riêng của ma trận Laguerre. .......... 30 2.1.3. Phân phối của định thức ma trận Laguerre ............................................... 32 2.2. Dáng điệu tiệm cận của định thức ma trận Laguerre ....................................... 33Chương 3: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC MA TRẬN JACOBI ......... 52 3.1. Phân phối của định thức ma trận Jacobi........................................................... 52 3.1.1. Ma trận Jacobi ............................................................................................ 52 3.1.2. Hàm mật độ đồng thời của các giá trị riêng của ma trận Jacobi ................ 57 3.1.3. Phân phối của định thức ma trận Jacobi .................................................... 58 3.2. Dáng điệu tiệm cận của định thức ma trận Jacobi ............................................ 59KẾT LUẬNTÀI LIỆU THAM KHẢO PHẦN MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài Ma trận ngẫu nhiên xuất hiện đầu tiên trong toán thống kê bởi hai nhàtoán học Hsu và Wishart. Nhiều tính chất của một số ma trận ngẫu nhiên đãđược Wigner nghiên cứu trong những năm 1950 đặt trong mối liên hệ với vậtlý hạt nhân. Trong thống kê nhiều chiều, các ma trận ngẫu nhiên Laguerre và Jacobilà các ma trận đối xứng nảy sinh trong quá trình thao tác trên mẫu ngẫunhiên (xây dựng các ước lượng, kiểm định…). Một cách cụ thể, ma trận ngẫunhiên Laguerre liên quan đến ma trận hiệp phương sai mẫu, trong khi ma trậnngẫu nhiên Jacobi phát sinh trong phân tích phương sai nhiều chiều. Địnhthức của các ma trận trên đã được Muirhead, Anderson và nhiều nhà toánhọc khác sử dụng để xây dựng nhiều kiểm định trong thống kê. Gần đây, sựphát triển các lý thuyết và ứng dụng của ma trận ngẫu nhiên mở ra yêu cầunghiên cứu tiệm cận của định thức các ma trận này. Được sự hướng dẫn của GS. TS Đặng Đức Trọng và dựa trên bài báo[13], chúng tôi nghiên cứu, tìm hiểu đề tài: “DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC CÁC MA TRẬNNGẪU NHIÊN”2. Mục đích của đề tài Đề tài “DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC CÁC MATRẬN NGẪU NHIÊN” hướng đến hai mục đích: Thứ nhất, xác định phân phối của định thức các ma trận ngẫu nhiênLaguerre và Jacobi bằng cách sử dụng các tính chất của phép biến đổi Mellinvà Jacobians của phép biến đổi trong  m . Thứ hai, dựa trên các định lý giới hạn của quá trình ngẫu nhiên và mộtsố ước lượng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của định thức các ma trậnngẫu nhiên Laguerre và Jacobi.3. Phương pháp nghiên cứu • Phân tích đề tài để xác định mục tiêu nghiên cứu. • Thu thập các bài báo khoa hoc, các tài liệu có liên quan đến đề tài. • Nghiên cứu tài liệu, ghi chép các kiến thức liên quan đến đề tài. • Tổng hợp kiến thức, chọn nội dung viết báo ...