Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của đồng điều địa phương cho môđun Compắc tuyến tính

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của đồng điều địa phương cho môđun Compắc tuyến tính bao gồm những nội dung về môđun đồng điều địa phương của môđun Compắc tuyến tính, tính triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đồng điều địa phương, môđun đồng điều địa phương Noether, đối ngẫu và một số nội dung khác.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của đồng điều địa phương cho môđun Compắc tuyến tính BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Vũ Kim Hồng MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CHO MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 MỤC LỤC MỞ ĐẦU ..................................................................................................................1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................................................3 1.1. Hàm tử dẫn xuất trái .................................................................................3 1.2. Hàm tử dẫn xuất phải ...............................................................................4 1.3. Giới hạn ngược .........................................................................................5 1.4. Phức Koszul ..............................................................................................7 1.5. Môđun đồng điều địa phương ..................................................................8 1.6. Môđun compắc tuyến tính ........................................................................9 1.7. Chiều Noether .........................................................................................11 1.8. Bao nội xạ ...............................................................................................12 1.9. Đối ngẫu .................................................................................................13 Chương 2. ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CHO MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH ...................................................................................................15 2.1. Môđun đồng điều địa phương của môđun compắc tuyến tính ...............15 2.2. Tính triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đồng điều địa phương .....22 2.3. Môđun đồng điều địa phương Noether ..................................................29 2.4. Đối ngẫu .................................................................................................32 KẾT LUẬN ............................................................................................................38 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................39 1 MỞ ĐẦU Lý thuyết đối đồng điều địa phương của A. Grothendieck là một công cụ quan trọng trong hình học đại số và đại số giao hoán. Do đó, nhiều nhà toán học trên thế giới cố gắng tìm cách xây dựng một lý thuyết khác xem như đối ngẫu với lý thuyết này mà có thể kể đến như E. Matlis, A.-M. Simon, J.P.C. Greenless, J.P. May... Cho R là một vành Noether, giao hoán có đơn vị khác 0, I là một iđêan của R và M là một R-môđun. Vào năm 2001, trong [4], thầy N.T. Cường và thầy T.T. Nam đã định nghĩa môđun đồng điều địa phương thứ i H i ( M ) của R-môđun M I ứng với iđêan I là  Tori ( R I , M ) H iI ( M ) = lim R t t theo nghĩa đối ngẫu với định nghĩa môđun đối đồng điều địa phương của A. Grothendieck, đồng thời chứng minh một vài tính chất cơ bản của môđun đồng điều địa phương khi M là Artin. Theo [8] , môđun Artin compắc tuyến tính với tôpô rời rạc. Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: làm thế nào để xây dựng lý thuyết đồng điều địa phương cho môđun compắc tuyến tính? Vào năm 2008, trong [3], thầy N.T. Cường và thầy T.T. Nam đã chứng minh một vài tính chất cơ bản của môđun đồng điều địa phương của môđun compắc tuyến tính nhằm hướng tới xây dựng lý thuyết đồng điều địa phương cho môđun compắc tuyến tính. Trong luận văn này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số tính chất của môđun đồng điều địa phương cho môđun compắc tuyến tính. Luận văn được chia làm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chúng tôi trình bày một số khái niệm và mệnh đề được sử dụng trong chương 2. Chương 2: Đồng điều địa phương cho môđun compắc tuyến tính. 2 Phần đầu, chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản và tính triệt tiêu, không triệt tiêu của môđun đồng điều địa phương. Tiếp theo là phần nói về môđun đồng điều địa phương Noether. Cuối cùng, chúng tôi đưa ra sự đối ngẫu giữa môđun đối đồng điều địa phương và môđun đồng điều địa phương. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Trần Tuấn Nam, người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ tôi về mặt nghiên cứu cũng như niềm tin để hoàn thành luận văn này. Bên cạnh đó, tôi cũng xin chân thành gửi lời cảm ơn đến các quý thầy cô trong tổ bộ môn Đại số nói riêng và toàn thể quý thầy cô khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh nói chung đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2014 Vũ Kim Hồng 3 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Hàm tử dẫn xuất trái Định nghĩa 1.1.1. ([12, 6.2.1]) Cho T :  →  là hàm tử hiệp biến cộng tính giữa các phạm trù aben và  đủ xạ ảnh. Ta xây dựng hàm tử dẫn xuất trái của T là LnT :  →  với mọi n ∈  như sau: Với mỗi vật A∈  , gọi P• là phép giải xạ ảnh của A ...