Luận văn Thạc sĩ Toán học: Siêu tâm của vành nửa đơn

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Siêu tâm của vành nửa đơn gồm có 3 chương, trong đó chương 1 - Kiếnthứccơbản, chương 2 - Cácđịnhlývềtínhgiaohoán, chương 3 - Siêu tâm của vành nửa đơn. Mời các bạn tham khảo luận văn để nắm bắt nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Siêu tâm của vành nửa đơnTHƯ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOVIỆN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ---------------------------------------------- Nguyễn Thành Trung SIÊU TÂM CỦA VÀNH NỬA ĐƠNChuyên ngành : Đại số và lý thuyết sốMã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜIHƯỚNGDẪNKHOAHỌC: PGS. TS. BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh-2010 LỜI CẢM ƠN LờiđầutiêntrongluậnvănnàychotôibàytỏlòngbiếtơnchânthànhđếnPGS.TS.BùiTườngTrívàcácthầycôkhoaToánTrườngĐạiHọcSưPhạmđãtậntìnhhướngdẫngiúpđỡtôitrongsuốtquátrìnhhọctậpvàlàmluậnvăncaohọc. XinchânthànhcảmơnPhòngSauĐạiHọcTrườngĐạiHọcSưPhạmvàBanGiámHiệuTrườngTHPTHàmThuậnBắcđãtạođiềukiệntốtnhấtđểchotôihoànthànhkhóahọc. Xinchânthànhcảmơncácbạnbè,đồngnghiêp,giađìnhđãgiúpđỡtôitrongsuốtkhóahọc,tạođiềukiệnthuậnlợiđểtôihoànthànhtốtnhiệmvụhọctậpcủamình. TP.Hồ Chí Minh 09-2010 Nguyễn Thành Trung LỜI MỞ ĐẦU Trongcácđịnhlývềgiaohoánđượctrìnhbàytrongchương3cuốnsáchvànhkhônggiao hoán của I.N. Hestein có định lýKaplansky: Nếu R là vành không có nil-ideal kháckhôngvàvớimọiphầntửa  R,tồntạisốnguyênn=n(a)saocho a n  Z vớiZlàtâmvànhRthìRlàvànhgiaohoán.Hersteinmuốnmởrộngkếtquảnàybằngcáchđưavàokháiniệmsiêu tâm của vành đó là tập T(R)= a  R / ax n  x n a, n  n( x,a)  1, x  R . Rõ ràngT(R)  Z.VấnđềđặtralàvớiđiềukiệnnàocủaRthìsiêutâmtrùngvớitâm.Trongluậnvănnày,banđầubàitoánđược đặtravớiRlàvànhchiađượcthìsiêutâmtrùngvớitâm,tiếptheolàvànhnủađơn.Nhưngsauđó,tôithấyrằngcóthểmởrộngralớpvànhkhôngcónil-idealkháckhông(phầnnàyđượcđặtraởphầncuốichương3củacuốnluậnvănnày).Luậnvănđượcchialàmbachương:Chương1 :KiếnthứccơbảnChương2 :CácđịnhlývềtínhgiaohoánChương3 :Siêutâmcủavànhnửađơn. Chương 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN1.1 ModuleĐịnh nghĩa 1.1.1: NhómcộngAbelMgọilàR_modulenếucómộtánhxạMxR  M;(m,r)  mrsaocho m, m1, m2  M ;a , b  R 1. m(a+b)=ma+mb 2. (m1  m2 )a  m1a  m2b 3. (ma)b=m(ab) NếuvànhRcóđơnvị1vàm1=m m  M thìMđượcgọilàR_moduleđơnnguyên.Định nghĩa 1.1.2: R_moduleMđượcgọilàR_moduletrungthànhnếuMr=0thìr=0.Điềunàycónghĩalànếur  0thìMr  0. NếuMlàmộtR_modulethìtađặtA(M)= r  R | Mr  (0) KhiđóA(M)đượcgọilàlinhhóatửcủaM,đóchínhlàtậphợptấtcảcácphầntửlinhhoátoànbộM.Bổ đề 1.1.1: A(M)làmộtidealhaiphíacủaR.Hơnnữa,MlàmộtR/A(M)_moduletrungthành.Chứng minh. A(M)làmộtidealhaiphíacủaR. o x, y  A(M ) : M(x-y)=Mx-My=0  x-y A(M) x  A(M ), r  R, tacó: o M(xr)=(Mx)r=(0)r=(0)  xr  A(M) o M(rx)=(Mr)x  Mx=(0)  M(rx)=(0)  rx  A(M)  MlàmộtR/A(M)_moduletrungthành,vớiphépnhânngoàiđượcxácđịnhnhưsau:MxR/A(M)  M;(m,r+A(M))  m(r+A(M))=mr  M. o Địnhnghĩanàylàhợplývìnếucó r1  A( M )  r2  A( M ) thìr1  r2  A(M ) ,suyram( r1  r2 )=0  mr1  mr2 .Hơnnữa,nếuM(r+A(M))=(0)thìMr=(0)  r  A(M)=>r+A(M)=0.DođóMlàR/A(M)_moduletrungthành. KýhiệuE(M)làtậphợptấtcảcáctựđồngcấucủanhómcộngM.Khiđó,E(M)lậpthànhmộtvànhvớiphépcộngvàphépnhânánhxạthôngthường.Vớimỗir R,tađịnhnghĩa Tr :M  Msaochom Tr =mr,  m  M.DoMlàR_modulenên Tr  E(M). Tađịnhnghĩaánhxạ  :R  E(M)saocho  (r)= Tr , r  R .Dễdàngkiểmtrarằng làđồngcấuvành.Hơnnữaker  =A(M).Bổ đề 1.1.2. R/A(M)đẳngcấuvớimộtvànhconcủaE(M) NếuMlàR_moduletrungthànhthìA(M)=0.Khiđó  làmộtđơncấuvàtacóthểnhúngRvàoE(M).Kýhiệu C(M)=   E ( M ) / Tr   Tr , r  R KhiđóC(M)đượcgọilàvànhgiaohoántửcủaRtrênM.TấtnhiênC(M)làvànhconcủaE(M).Hơnnữanếu   C (M ) thì m  M , r  R tacó (m  )r=(m  ) Tr =m(  Tr )=m( Tr  )=(m Tr )  =(mr)  Suyra  khôngnhữnglàmộttựđồngcấucủaMnhưlànhómcộnggiaohoánmàcònlàmộttựđồngcấucủaMnhưlàR_module.NgượclạitadễdàngkiểmtrađượcbấtkỳmộttựđồngcấuR_modulenàocũngthuộcC(M).TacóthểđịnhnghĩaC(M)nhưlàvànhcáctựđồngcấuR_module.Định nghĩa 1.1.3:MđượcgọilàmộtR_modulebấtkhảquynếuMR  (0)vàMkhôngcóR_moduleconthựcsự,tứcMchỉcócácR_modulecontầmthườnglà(0)vàM.Định lý 1.1.1(Bổ đề Schur) NếuMlàmộtR_modulebấtkhảquythìC(M)làmộtthểM(vànhchia).Chứng minh. Hiểnnhiên,C(M)làvànhconcủaE(M).DođóC(M)làmộtvành.Tachứngminh   C (M ) và   0 đều có phần tử khả nghịch trong C(M). Thật vậy do   0 nênM   (0)vàM  cũnglàmoduleconcủaM.Theogiảthiết,MlàR_modulebấtkhảquynênM  =M,suyra   làtoàncấu.Mặtkhác  làđơncấudoker  =0.Nếuker   0thìker  =M, suy ra  =0(mâu thuẫn). Vậy  là đẳng cấu nên tồn tại tự đồng cấu ngược 1  E(M).   C(M)  Tr  Tr , r  R   1 Tr   1Tr , r  R  Tr   1Tr , r  R  Tr 1   1R, r  R   1  C (M ) Định nghĩa 1.1.4: Idealphải  củaRđượcgọilàchínhquynếutồntạiphần ...