Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về cấu trúc vành Goldie nửa nguyên tố

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về cấu trúc vành Goldie nửa nguyên tố gồm có 3 chương. Trong đó, chương 1 - Kiến thức cơ sở; chương 2 - Định lý Goldie; chương 3 - Về cấu trúc vành Goldie nửa nguyên tố. Mời các bạn tham khảo luận văn để nắm bắt nội dung cụ thể.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về cấu trúc vành Goldie nửa nguyên tố BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH -----o0o----- Lê Bình Phương VỀ CẤU TRÚCVÀNH GOLDIE NỬA NGUYÊN TỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH -----o0o----- Lê Bình Phương VỀ CẤU TRÚCVÀNH GOLDIE NỬA NGUYÊN TỐ Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 1 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành chương trình cao học và hoàn thành luận văn này, tôi đãnhận được sự hướng dẫn, góp ý chân thành và sự giúp đỡ từ quý thầy côtrường Đại học sư phạm TP. Hồ Chí Minh. Trước hết tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, khoaToán và Phòng sau đại học trường Đại học sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã tạođiều kiện để tôi thực hiện luận văn trong thời gian cho phép. Tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc đến người hướng dẫn là PGS.TS. BùiTường Trí. Thầy đã nhiệt tình hỗ trợ và hướng dẫn tôi trong suốt quá trìnhlàm luận văn. Dù đã cố gắng thực hiện và hoàn thành luận văn bằng tất cả tâm huyếtvà năng lực của mình nhưng luận văn sẽ không tránh khỏi những mặt thiếusót. Rất mong nhận được ý kiến đóng góp chân thành cả quý thầy cô và cácbạn. TP. Hồ Chí Minh, ngày 26 tháng 09 năm 2012 Lê Bình Phương 2 MỤC LỤCLỜI CẢM ƠN .................................................................................................. 1MỤC LỤC ........................................................................................................ 2BẢNG KÝ HIỆU ............................................................................................. 3LỜI NÓI ĐẦU ................................................................................................. 4CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ............................................................... 5CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÝ GOLDIE ............................................................... 132.1 Điều kiện Ore phải: ................................................................................ 132.2 Số chiều đều: ............................................................................................ 202.3 Định lý Goldie phải: ............................................................................... 25CHƯƠNG 3:VỀ CẤU TRÚC VÀNH GOLDIE NỬA NGUYÊN TỐ ..... 323.1 Thứ tự trong vành các thương:............................................................. 333.2 Các iđêan nguyên tố tối tiểu:................................................................. 39KẾT LUẬN .................................................................................................... 44TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 45 3 BẢNG KÝ HIỆUKí hiệu Đọc làAR A là iđêan của vành RA r R A là iđêan phải của vành RA e R A là iđêan cốt yếu của vành RMR M là R-môđun phảiNM N là môđun con của MMn (D ) Vành ma trận vuông cấp n trên DEnd R M Vành tự đồng cấu của R-môđun MCR (0) Tập tất cả các phần tử chính quy trong Rrann X Linh hóa tử phải của tập X viết tắt r ( X )lann X Linh hóa tử trái của tập X viết tắt l( X )ann X Linh hóa tử của XOr ( I ) ={q ∈ Q/Iq ⊆ I} Thứ tự bên phải của R-iđêan IOl ( I ) = {q ∈ Q/qI ⊆ I} Thứ tự bên trái của R-iđêan I 4 LỜI NÓI ĐẦU Cho vành R giao hoán có đơn vị 1. Một tập S ⊂ R được gọi là tập(con) nhân (tập đóng nhân) của R nếu 1∈ S và ∀x , y ∈ S ⇒ xy ∈ S . Xác định quan hệ ∼ trên tập R × S như sau: Với a, b ∈ R; s, t ∈ S thì (a, s)  (b, t ) ⇔ ∃u ∈ S,(at − bs)u =0 Dễ kiểm tra ∼ là quan hệ tương đương. Mỗi lớp tương đương của (a, s)được ký hiệu: a / s và gọi là một thương (phân số). Gọi RS −1 là tập hợp tất cảcác lớp tương đương a / s (thương, phân số). Trên RS −1 xác định phép cộng và nhân: a / s + b / t =(at + bs) / st , (a / s)(b / t ) = ab / st Khi đó RS −1 trở thành một vành giao hoán. Vành RS −1 được gọi làvành các thương của vành R theo tập con nhân S . Vậy nếu R không giao hoán thì vành các thưong RS −1 có thực sự tồntại? Điều này không chắc vì khi R không có tính giao hoán thì kỹ thuật xâydựng trên không dùng được nên sự tồn tại của vành các thương là không bảođảm. Tuy nhiên với R là vành Noether Goldie đã đưa ra định lý chứng tỏrằng vành các thương có thể xây dựng được và nó là vành nửa nguyên tố. Hơnnữa khi R là vành nửa nguyên tố có vành các thương thì R được gọi là vànhGoldie nửa nguyên tố và vành các thương của nó là vành Artin nửa đơn. Vậy với điều kiện nào để tồn tại vành các thương của vành Noether R ?Vành Goldie nửa nguyên tố có những đặc trưng cơ bản nào? Luận văn sẽ tìmhiểu và làm rõ vấn đề trên. 5 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương này nêu một số định nghĩa và tính chất cơ bản của đại sốkhông giao hoán. Quy ước trong chương: Không nói gì thêm thì môđun M làmột R-môđun phải; R là vành khôn ...