MỘT VÍ DỤ VỀ TẬP COMPACT KHÔNG LỒI CÓ TÍNH CHẤT ĐIỂM BẤT ĐỘNG

Mục tiêu của đề tài là chỉ ra một tập compact không lồi trong 2 là một không gian điểm bất động. ABSTRACT. The aim of this topic is to show an example for the fixed point property of non-convex compact set in 2 .1. Mở đầu. Cho X là không gian topo, X được gọi là có tính chất điểm bất động hay X là không gian điểm bất động nếu mỗi ánh xạ liên tục từ X vào X đều có một phần tử x X sao cho f(x)=x . Năm 1912, Brouwer đã chứng...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
MỘT VÍ DỤ VỀ TẬP COMPACT KHÔNG LỒI CÓ TÍNH CHẤT ĐIỂM BẤT ĐỘNGTuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008 MỘT VÍ DỤ VỀ TẬP COMPACT KHÔNG LỒI CÓ TÍNH CHẤT ĐIỂM BẤT ĐỘNG. AN EXAMPLE FOR THE FIXED POINT PROPERTY OF NON-CONVEX SET. SVTH: ĐOÀN THỊ NGỌC CẢNH Lớp: 05TT, Trường Đại Học Sư Phạm GVHD: Th.S NGUYỄN HOÀNG THÀNH Khoa Toán, Trường Đại Học sư Phạm TÓM TẮT. Mục tiêu của đề tài là chỉ ra một tập compact không lồi trong  2 là một không gian điểm bất động. ABSTRACT. The aim of this topic is to show an example for the fixed point property of non-convex compact set in  2 .1. Mở đầu. Cho X là không gian topo, X được gọi là có tính chất điểm bất động hay X là không gianđiểm bất động nếu mỗi ánh xạ liên tục từ X vào X đều có một phần tử x  X sao cho f(x)=x .Năm 1912, Brouwer đã chứng minh định lí: Mỗi quả cầu đơn vị đóng trong  đều có tính nchất điểm bất động.Năm 1935, Schauder chỉ ra rằng kết quả của Brouwer có thể mở rộng được như sauĐịnh lí (Schauder). Mỗi tập lồi compact trong không gian metric tuyến tính lồi địa phươngđều có tính chất điểm bất động.Theo định lí Schauder ta cóĐịnh lí. Mỗi tập lồi compact trong không gian định chuẩn đều là không gian điểm bất động.Mục đích của đề tài này là chỉ ra một ví dụ cho thấy rằng có tập compact không lồ i trongkhông gian định chuẩn là không gian điểm bất động.2. Kiến thức chuẩn bị.Định nghĩa 2.1. X là không gian topo, A  X. Ánh xạ f:A X liên tục .x  A gọi là điểm bấtđộng của f nếu f(x)=x.Tập tất cả các điểm bất động của f kí hiệu là Fix(f).Định nghĩa 2.2. X là không gian topo, X là không gian điểm bất động hay có tính chất điểmbất động nếu mọi ánh xạ liên tục f:X X đều có điểm bất động.Định lý 2.1. Cho X là không gian điểm bất động , Y là không gian đồng phôi với X thì Y cũnglà không gian điểm bất động.Định nghĩa 2.3. X là không gian topo,  là lớp các ánh xạ liên tục f:X X. Nếu mỗi ánh xạthuộc  đều có điểm bất động thì X được gọi là không gian điểm bất động đối với lớp  .Định nghĩa 2.4. ( ánh xạ compact). X, Y là không gian topo, ánh xạ liên tục f:X Y là ánhxạ compact nếu f ( X ) là tập compact trong Y.Định nghĩa 2.5. X là không gian topo, A  X. Một ánh xạ liên tục r:X A được gọi là mộtphép co rút nếu  a  A thì r(a)=a và A được gọi là co rút của X (tồn tại một phép co rút từ Xvào A).Mệnh đề 2.1. Cho X là không gian topo Hausdorff, A là một co rút của X thì A đóng trong X. 263Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008Định lí 2.2. Mỗi co rút của một không gian điểm bất động là một không gian điểm bất động .Bổ đề 2.1. (Bổ đề dán) Cho X,Y là các không gian topo và ánh xạ f: X Y. F ,, Fn là 1 n F f |Fk : Fk Yhữu hạn các tập đóng của X với X= . Nếu liên tục với mọi k k 1k  {1,2,3,...,n} thì f:X Y liên tục.Định lí 2.3. Cho (K,d) là một không gian metric compact. Giả sử với mọi n   , tồn tại Z n 1 K mà Z n là không gian điểm bất động và  n :K  Z n liên tục sao cho d(  n (x),x)< ; với n  K suy ra K là không gian điểm bất động.mọi xĐịnh lí 2.4. (Định lí  -xấp xỉ) Cho (K,d) là một không gian metric compact .Giả sử với mỗi >0, tồn tại Z  K mà Z là không gian điểm bất động và  : K→Z liên tục sao chod(  (x),x)<  , với mọi x  K. Khi đó K là không gian điểm bất động .3. Tập compact không lồi trong  có tính chất điểm bất động. 2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy.(C) là hình tròn đơn vị tâm O (xemhình1).  i    {0}, OAi là các bán kính của hình tròn với Ao  Ox, A  Oy, OAi là 1 AoOAi 1 ,  i  2.phân giác của góc   OA .Đặt D= i i 0 Oy r1 a1 b1 r1 a r2 2 b2 r2 a 3 b rn 3 b -1 n a n aox o 0 ...