Bài giảng Giải tích 1: Tích phân xác định

Bài giảng "Giải tích 1: Tích phân xác định" trình bày các nội dung: Bài toán diện tích, ví dụ về tổng tích phân, điều kiện để f khả tích trên [a, b], tính chất hàm khả tích, định lý cơ bản của phép tính vi tích phân, một tích phân cần nhớ. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 1: Tích phân xác định TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Bài toán diện tích y = f (x) S a b Chia S thành nhiều diện tích con Xấp xỉ các diện tích con bằng diện tích các hình chữ nhật con Chia S càng nhỏ Tổng diện tích xấp xỉ càng gần S ĐỊNH NGHĨA Phân hoạch P của [a, b] là tập hợp các điểm chia của [a, b] thỏa mãn a x0 < x1 < … n −1 S (P , f ) = f (ξ i )( xi +1 − xi ) i =0 f khả tích tồn tại giới hạn hữu hạn của S(P, f) khi d 0 (không phụ f( i) thuộc P) a=x0 xi xi+1 xn=b i b lim S (P , f ) = f ( x )dx d 0 a Ví dụ về tổng tích phân Cho f(x) = x trên [0,1], phân hoạch đều [0,1] thành n đoạn bằng nhau bởi các điểm 0 = x0 1 1 1 i xi +1 − xi = � d = , ξ i = xi = 0 + i = , n n n n i f (ξi ) = ξi = n 0 1 2 3 1 n −1 n −1 i 1 S (P , f ) = �f (ξ i )( xi +1 − xi ) = � i =0 i =0 n n n −1 1 1 = 2 i = 2 [0 + 1 + ... + (n − 1)] n i =0 n (n − 1)n 1 = 2 2n d 02 1 1 � xdx = 0 2 Điều kiện để f khả tích trên [a, b] Hàm f liên tục trên [a, b] ngoại trừ 1 số hữu hạn các điểm gián đoạn loại 1 thì khả tích trên [a,b]. b ( Khi đó f ( x )dx là tích phân xác định.) a 2 Ví dụ: sin x dx là tpxđ vì x = 0 là điểm gđ loại 1. −1 x 2 x ln xdx là tpxđ vì x = 0 là điểm gđ loại 1. 0 2 ln xdx không là tpxđ vì x = 0 là điểm gđ loại 2. 0 Tính chất hàm khả tích 1. f khả tích trên [a, b] thì f bị chận trên [a,b] 2. f khả tích trên [a,b] thì | f | khả tích trên [a,b] 3. f khả tích trên [a,b], m và M lần lượt là gtnn và gtln của f trên [a,b], khi đó b ∗  m(b − a) f ( x )dx M (b − a ) a b b * f ( x ) � g (x) � f ( x )dx � g ( x )dx a a Tính chất hàm khả tích b b cf ( x )dx = c � 4.  � f ( x )dx ,   a a b b b [f ( x ) + g ( x )]dx = �       � f ( x )dx + � g ( x )dx a a a a a b 5.  f ( x )dx = 0 f ( x )dx = − � 6.  � f ( x )dx a b a b c b f ( x )dx = � 7.  � f ( x )dx + � f ( x )dx a a c Tính chất hàm khả tích b 8.  dx = b − a a b b +T 10. f(x) tuần hoàn với chu kỳ T: f ( x )dx = � � f ( x )dx a a +T a 11. f lẻ trên [-a, a]: f ( x )dx = 0 −a a a f chẵn trên [-a, a] f ( x )dx = 2 � � f ( x )dx −a 0 Định lý giá trị trung bình f liên tục trên [a,b], khi đó tồn tại c [a,b] sao cho b f (c )(b − a) = f ( x )dx a x t2 Áp dụng: tính giới hạn lim e dx x + 0 2 t hàm e liên tục trên [0, x], theo định lý, tồn tại c [0,x] sao cho x t2 c2 e dx = ( x − 0)e >x + x + 0 ĐỊnh lý cơ bản của phép tính vi tích phân * Nếu f khả tích trên [a,b] thì hàm số x F ( x ) = f (t )dt liên tục trên [a,b] a * Nếu f liên tục trên [a,b] thì F khả vi trên [a,b] và F ' ...