Khám phá một số phương pháp giải phương trình vô tỷ: Phần 2 - Nguyễn Minh Tuấn

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách "Tìm tòi sáng tạo một một số cách giải phương trình vô tỷ" tiếp tục giới thiệu đến bạn kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu, kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cùng một số bài tập để các bạn luyện tập củng cố kiến thức. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung cuốn sách tại đây.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Khám phá một số phương pháp giải phương trình vô tỷ: Phần 2 - Nguyễn Minh Tuấn Tìm tòi sáng tạo một một số cách giải phương trình vô tỷD. KỸ THUẬT SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU.I. Kiến thức cần nhớ.Định lý 1.Xét phương trình f  x   a . Nếu f  x  xác định, liên tục và đơn điệu trên TXĐ của nó thì phươngtrình f  x   a có tối đa 1 nghiệm.Định lý 2.Cho phương trình f  x   g  x  , trong đó f  x  ,g  x  cùng xác định trên D đồng thời có tính đơnđiệu ngược nhau trên D thì phương trình f  x   g  x  có tối đa 1 nghiệm.Định lý 3.Nếu hàm số f  x  đơn điệu, không liên tục trên tập xác định của nó thì phương trình f  x   a cótối đa  n  1 nghiệm, với n là số điểm gián đoạn của đồ thị hàm số.Nguyễn Minh Tuấn Trang 77 Tìm tòi sáng tạo một một số cách giải phương trình vô tỷII. Bài toán minh họa.Nội dung chủ yếu của phương pháp này là ta sẽ chứng minh đạo hàm của hàm số ban đầu mangmột dấu để chỉ ra nghiệm duy nhất của phương trình đầu. Để hiểu rõ hơn ta cùng đi vào các bài cụthể.Bài 1: Giải phương trình: x 3  x 2  x  3 4 x  1  3 Phân tíchĐầu tiên để định hướng hướng giải ta sẽ dùng máy tính kiểm tra tính đơn điệu của hàm số f  x   x 3  x 2  x  3  3 4 x  1 bằng MODE 7.Nhập vào máy hàm số trên rồi cho:  START  1  END  20  STEP  1Ta được bảng như bên. Nhìn vào bảng ta thấy hàm có 1nghiệm duy nhất là x  0 và có vẻ như đang đồng biếntrên  1;   cho nên ta được x  0 là nghiệm duy nhấtcủa phương trình.Bằng các giá trị của TABLE ta có thể vẽ được đồ thì củahàm số như bên.Nhìn vào đồ thị ta có thể thấy nó luôn liên tục, đồng biếnvà cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất.Nếu muốn kiểm tra kỹ hơn ta có thể dùng máy tính chianhỏ khoảng ra để kiểm chứng điều này.UABằng các giá trị của TABLE ta có thể vẽ được 8đồ thì của hàm số như bên.Nhìn vào đồ thị ta có thể thấy nó luôn liên tục, 6đồng biến và cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất. 4Vậy khi đó ta chỉ cần chứng minh đạo hàm củahàm f  x   x 3  x 2  x  3  3 4 x  1 lớn hơn 0 2là ta có thể giải quyết được bài toán này. 10 5 5 10Ta có lời giải như sau: 2Lời giải.ĐKXĐ: x   1;   . 4 6Đặt f  x   x 3  x 2  x  3  3 4 x  1 liên tục trên  1;   . 3Ta có: f  x   3x 2  2x  1  3  0x   1;   . Do đó f  x  đồng biến trên  1;   . 4  4 x1 Suy ra phương trình f  x   0 có tối đa 1 nghiệm. Lại có f  0   0 nên x  0 là nghiệm duy nhấtcủa phương trình.Bài 2: Giải phương trình:  4x  1    x  3  3 3x  5  4x  8 Phân tíchĐầu tiên để định hướng hướng giải ta sẽ dùng máy tính kiểm tra tính đơn điệu của hàm sốf  x    4x  1    x  3  3 3x  5  4x  8 bằng MODE 7.Nguyễn Minh Tuấn Trang 78 Tìm tòi sáng tạo một một số cách giải phương trình vô tỷNhập vào máy hàm số trên rồi cho:  START  3  END  20  STEP  1Ta được bảng như hình bên. Nhìn vào bảng ta dễthấy rằng phương trình đầu có 2 nghiệm x  2; x  1 và không phải hàm đơn điệu.Đến đây chỉ có 2 cách là đạo hàm f  x  lên và xétdấu của f  x  sau đó chỉ ra 2 nghiệm trên 2khoảng mà ta đã xét tính đơn điệu của nó. Cáchthứ 2 là sử dụng định lý 2 để giải quyết nó.Để dễ hình dung ta có thể vẽ đồ thị như sau:Nhìn vào đồ thị ta thấy f  x  bị đổi dấu khi qua 4 2một điểm. Để giải quyết bài toán bằng cách 1 thìkhá là khó vì: 10 5 5 10 15 20 2 f  x  4  x  3  3 3x  5  4   6  1 1 4   4x  1  8 2 x  3 2   3  3x  5    10 12Rất khó để xét dấu của nó. Chỉ còn cách là chứngminh vô nghiệm trên 1 khoảng chứa điểm rơi, còn ...