Luận văn Thạc sĩ Toán học: Môđun không xoắn trên vành giao hoán

Khái niệm môđun không xoắn được xác định trước hết trên các miền nguyên, có một vai trò quan trọng trong lý thuyết môđun và một số ngành toán học khác. Việc mở rộng khái niệm đó lên các vành tổng quát hơn là miền nguyên là điều thực sự cần thiết. Luận văn chỉ dừng lại ở mức độ xây dựng các môđun không xoắn trên vành giao hoán.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Môđun không xoắn trên vành giao hoán BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Thị Vân AnhMÔĐUN KHÔNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Thị Vân AnhMÔĐUN KHÔNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Trần Huyên Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn củaTS. Trần Huyên. Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số kết quả, nộidung từ các sách, tạp chí được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo. Tôi xin chịuhoàn toàn trách nhiệm về luận văn của mình. Lời cảm ơn Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn, tôi đã nhận được sự giúpđỡ cũng như hướng dẫn nhiệt tình của các thầy cô, các đồng nghiệp và các bạn caohọc toán K26. Đầu tiên, tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Huyên, người thầy tâmhuyết trong giảng dạy và cũng là người tận tình, giúp đỡ, hướng dẫn tôi trong quátrình hoàn thành luận văn. Với lòng kính trọng và biết ơn, tôi cũng xin được gởi lời cảm ơn chân thành đến: Các thầy cô khoa Toán - Tin của Trường Đại học Sư phạm TP.HCM cùngGS.TS. Bùi Xuân Hải, GS.TSKH. Nguyễn Tự Cường đã trực tiếp trang bị cho tôi kiếnthức cơ bản làm nền tảng cho quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Ban giám hiệu, phòng Đào tạo sau đại học, khoa Toán - Tin trường Đại học Sưphạm TP. Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập,hoàn thành và bảo vệ luận vặn. Các thầy cô trong Hội đồng Bảo vệ luận văn thạc sĩ đã đọc, đóng góp ý kiến,nhận xét và đánh giá luận văn. Cuối cùng tôi xin dành lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè là những người luônđộng viên, giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận văn. TP. Hồ Chí Minh, tháng 03 năm 2018 Trần Thị Vân Anh MỤC LỤCMỞ ĐẦU.........................................................................................................................1CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .....................................................................2 1.1 Một vài khái niệm và kết quả của lý thuyết môđun ..............................................2 1.2 Dãy khớp ...............................................................................................................5 1.3 Các hàm tử đồng điều ............................................................................................8CHƯƠNG 2: MÔĐUN KHÔNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN .................19 2.1 Môđun không xoắn trên miền nguyên .................................................................19 2.2 Môđun không xoắn trên vành giao hoán .............................................................25KẾT LUẬN ..................................................................................................................40TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................41 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU : Tập các số nguyên. S : Môđun con sinh bởi tập S .Hom  X , Y  : Tập hợp tất cả các đồng cấu môđun từ X vào Y .F (S ) : Môđun tự do có cơ sở là S .A B : Tổng trực tiếp trong của hai môđun A và B .X i : Môđun tích trực tiếp của họ môđun  X i  .Xi : Môđun tổng trực tiếp của họ môđun  X i  .X Y : Tích tenxơ của R  môđun phải X và R  môđun trái Y .f g : Tích tenxơ của các đồng cấu R  môđun f và g .TorRn  A, B  : Tích xoắn n  chiều trên R của các R  môđun phải A vàR  môđun trái B .Ext Rn  A, B  : Tích mở rộng R  chiều trên của các R  môđun phải A vàR  môđun trái B .Tor  A, B  : Tích xoắn R  chiều trên của các R  môđun phải A và R  môđuntrái B .Ext  A, B  : Tích mở rộng R  chiều trên của các R  môđun phải A vàR  môđun trái B .■ : Kết thúc chứng minh. 1 MỞ ĐẦU Khái niệm môđun không xoắn được xác định trước hết trên các miền nguyên,có một vai trò quan trọng trong lý thuyết môđun và một số ngành toán học khác. Việcmở rộng khái niệm đó lên các vành tổng quát hơn là miền nguyên là điều thực sự cầnthiết. Ở đây, chúng tôi chỉ dừng lại ở mức độ xây dựng các môđun không xoắn trênvành giao hoán. Với đối tượng và phạm vi nghiên cứu là các môđun không xoắn trên miềnnguyên và vành giao hoán. Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được trình bàythành hai chương: Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong phần này, chúng tôi sẽ giới thiệu các kiến thức cơ bản của lý thuyếtmôđun và đại số đồng điều cần thiết cho sự trình bày các nội dung được triển khai ởchương tiếp theo. Chương 2: MÔĐUN KHÔNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN Trước hết, chúng tôi giới thiệu môđun không xoắn trên miền nguyên, trình bàycác kết quả liên quan đến khái niệm này trong mối liên hệ với khái niệm khác của lýthuyết mô đun như sau: môđun con, môđun thương, tích trực tiếp, tổng trực tiếp,môđun xạ ảnh, môđun dẹt,... Tiếp theo đánh giá những đặc trưng của môđun không xoắn trên miền nguyên,đưa ra cách thể hiện khác của đặc trưng đó dưới dạng ngôn ngữ tổng quát hơn, để đưara các khả năng mở rộng cho khái niệm này trên vành giao hoán. ...