Tổng hợp các bài toán về dãy số, giới hạn trong đề thi HSG các tỉnh, thành phố năm học 2011 – 2012 và một số vấn đề liên quan

Tài liệu Tổng hợp các bài toán về dãy số, giới hạn trong đề thi HSG các tỉnh, thành phố năm học 2011 – 2012 và một số vấn đề liên quan gồm các bài tập có lời giải chi tiết và phần bài tập tự giải sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh giỏi chuẩn bị thiHSG các tỉnh, thành phố. Tham khảo nội dung tài liệu để nắm bắt nội dung chi tiết.

Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tổng hợp các bài toán về dãy số, giới hạn trong đề thi HSG các tỉnh, thành phố năm học 2011 – 2012 và một số vấn đề liên quan TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ, GIỚI HẠN TRONG ĐỀ THI HSG CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2011 – 2012 VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN (Lê Phúc Lữ - tổng hợp và giới thiệu)A – ĐỀ BÀI.Bài 1. (Quảng Bình, vòng 1) un1Cho dãy số un  xác định như sau u1  1,  1  un2011 , n  1, 2, 3,... un  u 2011 u 2011 u 2011 Tính lim  1  2  ...  n  .  u2 u3 un1 Bài 2. (Vĩnh Long, vòng 1) u1  3Cho dãy số un  xác định bởi  un1  1 un2  un  4 , n  1, 2, 3,...  5a) Chứng minh rằng un  là dãy tăng nhưng không bị chặn trên. n 1b) Đặt vn   , n  1, 2,3,... . Tính lim vn . k 1 u k  3 n Bài 3. (Chọn đội tuyển THPT chuyên Bến Tre) Tìm số hạng tổng quát của dãy un  thỏa mãn: u1  u2  1   un 1.un un 2  2u  u  n 1 nBài 4. (Bình Định, vòng 1) u  2  3  1Cho dãy số un  được xác định bởi     un1  3  2 un2  2 6  5 un  3 3  3 2   1 n 1Đặt vn   , n  1, 2, 3,... Tìm lim vn . k 1 u k  2Bài 5. (Bình Dương, vòng 2) 1 a Cho dãy số  xn  được xác định như sau xn   xn1   , n  2 và a  0, x1  0 . 2  xn1 Chứng minh rằng dãy đã cho có giới hạn và tìm giới hạn của dãy.Bài 6. (Chọn đội tuyển THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai) x  aCho hai số thực a và b. Xét dãy số  xn  xác định bởi công thức  0  xn1  1  b. xn ; n  Tìm điều kiện của a, b để  xn  có giới hạn. Tính giới hạn đó.Bài 7. (Hà Nam, vòng 2) 1 3 xnCho dãy số thực (xn) thỏa mãn: x1  , xn1  với mọi n nguyên dương. 6 2 xn  1a. Chứng minh dãy số trên có giới hạn và tính giới hạn đó.b. Tìm số hạng tổng quát của dãy số trên.Bài 8. (Hà Nội, vòng 1) un1. Cho dãy số un  xác định bởi: u1 = 1 và un1  un  n với mọi n  1 . Tìm lim . n  un12. Cho dãy số vn  xác định bởi: v1  2015 và vn1  vn2  2 với mọi n 1, 2, 3,... vn21Chứng minh rằng lim  2011 . n  v 2 .v 2 ...v 2 1 2 nBài 9. (Long An, vòng 2) u1  1 Cho dãy số xác định bởi  3u  4 un1  n , n  1, 2, 3,...  un  1Đặt xn  u2 n1 , yn  u2 n . 2a) Chứng minh dãy  xn  ,  yn  có giới hạn hữu hạn.b) Chứng minh un  có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đóBài 10. (Phú Thọ, vòng 1) 1Cho dãy số u1  4, un1  9   un  4  4 1  2un , n  1, 2, 3,...Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số trên.Bài 11. (Nam Định, vòng 1)Xét dãy số un  thỏa mãn u1  1, un1  un (un 1)  2, n  1 . nChứng minh rằng An  uk2  1 1 là số chính phương với mọi n. k 1Bài 12. (Cần Thơ, vòng 2)Cho dãy số  xn  được xác định bởi:  x1  a  ...