Nhập môn đại số giao hoán

Nhập môn Đại số giao hoán dành cho các bạn sinh viên, học viên khoa toán. Gỉa sử S khác rỗng là một tập được sắp thứ tự sao cho mọi tập con được sắp toàn phần đều có một chặn trên trong S. Khi đó tồn tại ít nhất một phần tử cực đại.Vành đai ideal: Trong khuôn khổ của môn học này, một vành (nói riêng, một trường) luôn được giả sử là giao hoán và có đơn vị và dĩ nhiên một đồng cấu vành chuyển đơn vị thành đơn vị...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Nhập môn đại số giao hoán Nhập môn đại số giao hoán G.-V. Nguyễn-Chu Ha Noi Inst. of MathematicsBổ đề Zorn. Giả sử S 6= ∅ là một tập được sắp thứ tự sao cho mọi tập con được sắp toàn phần đều có mộtchặn trên trong S. Khi đó tồn tại ít nhất một phần tử cực đại.1 Vành và idealTrong khuôn khổ của môn học này, một vành (nói riêng, một trường) luôn được giả sử là giao hoán và cóđơn vị và dĩ nhiên một đồng cấu vành chuyển đơn vị thành đơn vị.Nhận xét 1.0.1. Ta không loại trừ khả năng phần tử 1 của một vành A có thể bằng 6= 0. Một vành A với1 = 0 nhất thiết chỉ gồm một phần tử, thật vậy x ∈ A =⇒ x = x · 1 = x · 0 = 0 và được kí hiệu A = 0. Ta sẽ chủ yếu quan tâm đến các vành sau cũng như các vành được xây dựng từ chúng.Ví dụ 1.0.2. 1. k, với k là một trường; 2. Z; 3. Vành đa thức một biến A[X] với A là một vành cho trước. Tổng quát hơn, với S là một tập chỉ số, ta có vành đa thức nhiều biến A[Xi ], i ∈ S với các biến tham số hóa bởi S; 4. Vành chuỗi các lũy thừa hình thức A[[X]] với A là một vành cho trước. Tổng quát hơn, vành các chuỗi lũy thừa hình thức A[[Xi ]], i ∈ S.1.1 Nhắc lại một số khái niệm và kết quả ban đầuĐịnh nghĩa 1.1.1 (Phần tử khả nghịch). Một phần tử a của một vành A được gọi là khả nghịch nếu là ướccủa 1, nói cách khác, tồn tại b ∈ A sao cho ab = 1. Phần tử b như vậy được gọi là nghịch đảo của A và kíhiệu là a−1 . Tập các phần tử khả nghịch của A, kí hiệu là A∗ lập thành một nhóm đối với phép nhân.Định nghĩa 1.1.2 (Phần tử liên kết). Hai phần tử a, b của một vành A được gọi là liên kết với nhau nếutồn tại u ∈ A∗ sao cho a = ub.Nhận xét 1.1.3. 1. Do A∗ là một nhóm với phép nhân, quan hệ liên kết là một quan hệ tương đương; 2. Một phần tử là khả nghịch khi và chỉ khi liên kết với 1.Định nghĩa 1.1.4 (Ước của 0). Cho A là một vành. Một phần tử a ∈ A được gọi là ước của 0 nếu tồn tạib 6= 0 sao cho ab = 0. Một cách xây dựng quan trọng các vành mới từ các vành đã cho là thông qua vành thương.Định nghĩa 1.1.5 (Ideal). Một tập con a ⊂ A được gọi là một ideal nếu là một nhóm con đối với phép cộngvà ổn định đối với phép nhân với các phần tử của A. Ví dụ đơn giản nhất của ideal là các ideal chính, với mọi a ∈ A, ta định nghĩa (a) = {ba; b ∈ A}. Chú ýrằng một ideal a ⊂ A chứa phần tử 1 khi và chỉ khi a = (1) = A, hay tổng quát hơn, với mọi ideal a ⊂ A. a ∩ A∗ 6= ∅ ⇔ 1 ∈ a ⇔ a = (1)Ngoài ra, ta cóMệnh đề 1.1.6. Cho f : A → B là một đồng cấu vành. 1. ker f là một ideal của A; 2. Tổng quát hơn, với mọi ideal b ⊂ B, f −1 (b) là một ideal của A. Ta nhắc lại định nghĩa của vành thương. 1Định nghĩa 1.1.7. Cho a ⊂ A là một ideal. Nhóm thương A/a có một cấu trúc nhân duy nhất cảm sinh từphép nhân trên A khiến A/a trở thành một vành. Phép chiếu chính tắc π : A → A/alà một đồng cấu vành với hạch ker π = a. Kết quả đơn giản sau đây miêu tả các ideal của một vành thương.Mệnh đề 1.1.8. Có một phép tương ứng 1 − 1 và bảo toàn thứ tự giữa các ideal của A/a và các ideal của ¯ 7→ b = π −1 (b).A chứa a cho bởi b ¯Chứng minh. Bài tập.Định lí 1.1.9 (Định lý đồng cấu). Cho f : A → B là một đồng cấu vành. Tồn tại duy nhất một đơn cấu f¯khiến biểu đồ sau giao hoán A GG f / w;B GG f¯ ww w GGπ w GG ww G# w w A/ ker fChứng minh. Bài tập. Chú ý rằng Định lý 1.1.9 có khá nhiều biến tấu. Một trong số đó là phát biểu mạnh hơn sau đây.Mệnh đề 1.1.10. Cho f : A → B là một đồng cấu vành và a là một ideal của A. Các khẳng định sau làtương đương 1. Tồn tại một đồng cấu vành f¯ : A/a → B sao cho biểu đồ sau giao hoán A GG f / GG ww; B GGπ f w ¯ w GG w ...