Giáo trình Không gian tuyến tính Tôpô Banach - Hilbert (Giải tích IV): Phần 2

Tiếp nối phần 1 giáo trình, phần 2 sau đây trình bày nội dung chương 5 trở đi. Nội dung phần này gồm có: Không gian liên hợp của các không gian quan trọng, tập Compact trong một số không gian hàm, không gian Hilbert. Mời các bạn tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Không gian tuyến tính Tôpô Banach - Hilbert (Giải tích IV): Phần 2 CHƯƠNG V KHÔNG G I A N LIÊN HỢP C Ủ A CÁC K H Ô N G G I A N Q U A N T R Ọ N G T r o n g c h ư ơ n g n à y c h ú n g ta m i ê u t ả k h ô n g gian liên hợp c ù a các k h ô n g gian quan t r ọ n g hay gập t r o n g g i ả i tích .ậy.l. KHÔNG GIAN LIÊN H ộ p CỦA KHÔNG GIAN C(S), s LÀ KHÔNG GIAN TÒPÒ. T h o ạ t t i ê n ta m ô t ả k h ô n g gian liên hợp của k h ô n g gian C(S), c á c h à m liên tục t r ê n k h ô n g gian t ô p ô s, với t r ư ờ n g hợp s là H a u s ơ đ o r f f compact. V ớ i m ỗ i f G C(S) ta đ ậ t . I |f| I = sup {|f(s)|: s e S} ỏ chương IV ta thấy f — ||f|| là m ộ t chuẩn trên c (S) và C(S) vối chuẩn n à y là k h ô n g gian Banach. Định lý sau đây miêu tả liên hợp của C(S) khi s là không gian tôpô compact. v.1.1. Định lý. Nếu s là không gian tôpô Hausơđorff compact thì giựa C(S), k h ô n g gian liên hợp của s, và rai(S), k h ô n g gian Banach c á c đ ộ đ o c h í n h quy trên s, tồn tại một đảng cấu đảng cự mà trong đó nhựng phần từ tương ứng x * e C t a v à / | G rm(S) thỏa m ã n đ ẳ n g thức p x*(f) = / f ( ^ ( d s ) , f G C(S) (1) s thêm vào đó ||x*|| = I//1 = vựt,s), ở đó v(í/,s) là biến phân t o à n p h à n của đ ộ đo ịị. 119 Chứng nạnh. Trước hết về lý thuyết độ đo, độ đo chínhquy và biến phân toàn phàn của một độ đo có thể xem ở giả!tích 3. 1) Ta chứng minh mỗi f e C(S) khả tích đối với m ỗ i độđo fi chính quy trên s. Thật vậy bởi f(S) hoàn toàn bị chặnnên có thể phủ f(S) bởi các tập mở Gj, G->,... G n mà đườngkính mõi Gị n h ỏ hơn f > 0 cho trước. j-i Dật A, = G„ Aj = Gj - U G | , j = 1.2,-n i=l Nếu Aj í * 0 thì chọn số «j e Aj. Nếu Aj = 0 thì coiOj = 0. Vì Gj mở nên f(Gj) cũng mở. Do vậy tập Bị = f(Aj)thuộc m i ề n xác định của h à m /(. n Hơn nữa hàm f. t = otjXn là f( - đơn giản, à đó X . ( i là j r ihàm đặc t r ư n g của Bị. H ơ n nữa: , sup{ I f As) t - f(s) I : ...