Bài giảng Vi tích phân hàm số một biến: Chương 2 - Vũ Đỗ Huy Cường

Bài giảng Vi tích phân hàm số một biến - Chương 2: Giới hạn và Liên tục, cung cấp những kiến thức như giới hạn của hàm số; tính toán giới hạn; tính liên tục của hàm số; định lý giá trị trung gian. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Vi tích phân hàm số một biến: Chương 2 - Vũ Đỗ Huy CườngGiảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Chương 2 Giới hạn và Liên tục Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 19 / 148Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 2.1. Giới hạn của hàm số 2.1.1. Giới hạn Đặt f (x) là hàm được xác định trên một lân cận của c, nhưng c có thể không thuộc tập xác định của f (x). Nếu f (x) tiến đến gần L khi x tiến đến gần c, ta nói rằng f tiến đến giới hạn L khi x tiến tới c và ta viết lim f (x) = L. (8) x→c Biểu thức trên được đọc là “giới hạn của f (x) khi x tiến tới c là L”. x2 − 1 Ví dụ: Tìm giới hạn của f (x) = khi x tiến đến 1. x −1 Ta có x2 − 1 f (x) = không xác định tại x = 1. x −1 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 20 / 148Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 2.1.1. Giới hạn Ta nói rằng f (x) tiến tới giới hạn 2 khi x tiến tới 1, và viết x2 − 1 lim = 2. x→1 x − 1 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 21 / 148Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 2.1.1. Giới hạn Một hàm số f (x) có một giới hạn khi x tiến đến c nếu và chỉ nếu nó có giới hạn bên trái, giới hạn bên phải và chúng bằng nhau: lim f (x) = L ⇔, lim f (x) = lim+ f (x) = L. (9) x→c x→c − x→c Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 22 / 148Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 2.1.1. Giới hạn Bài tập: Tìm giới hạn một phía và giới hạn (nếu chúng tồn tại). 1) lim x + 2. 2) lim + x + 2. x→−2− x→−2 x −1 x −1 3) lim . 4) lim+ . x→1− |x − 1| x→1 |x − 1| 1 1 5) lim 6) lim+ . x→0− 1 + e 1/x x→0 1 + e 1/x √ √ 1 + cosx 1 + cosx 7) lim . 8) lim+ . x→π − sinx x→π sinx Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 23 / 148Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 2.1.2. Tính toán giới hạn Làm sao để tính lim f (x)? => Thay tọa độ x = c vào f (x) x→c Trường hợp 1: Nếu f (c) là hữu hạn thì nó chính là giới hạn. Nếu f (c) là ±∞ thì không có giới hạn. 0 Trường hợp 2: Nếu f (c) có dạng , hãy triệt tiêu nhân tử chung 0 khiến tử và mẫu bằng 0. Ví dụ: x2 − 4 −3 x2 + 4 4+4 a) lim = = 3, b) lim 2 = = ∞. x→1 x − 2 −1 x→2 x − 4 4−4 x3 − 1 (x − 1)(x 2 + x + 1) x2 + x + 1 3 c) lim 2 = lim = lim = . x→1 x − 1 √ x→1 (x − 1)(x + 1) √ x→1 √ x +1 √ 2 2− x +1 (2 − x + 1)(2 + x + 1)(1 + x − 2) d) lim √ = lim √ √ √ x→3 1 − x − 2 x→3 (1 − x − 2)(1 + x − 2)(2 + x + 1) √ √ (3 − x)(1 + x − 2) 1+ x −2 1 = lim √ = lim √ = . x→3 (3 − x)(2 + x + 1) x→3 2 + x + 1 2 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 24 / 148Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 2.1.2. Tính toán giới hạn Bài tập : Tìm giới hạn x3 + 1 x2 − 1 1) lim . 2) lim . x→2 x 2 − 1 x→1 x 2 + 1 (x − 2)2 x2 − 1 3) lim . 4) lim . x→2 x 2 − 22 x→−1 x 2 + 3x + 2 √ √ ...