MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Qua bài viết này chúng tôi muốn giới thiệu cho các bạn một số kĩ năng đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ MÔT SỐ PHƯƠNG PHAP GIAI PHƯƠNG TRINH VÔ TỈ ̣ ́ ̉ ̀ ******************************II. Môt số phương phap giai phương trinh vô tỉ ̣ ́ ̉ ̀1. Phương phap nâng lên luy thừa ́ ̃ g(x) ≥ 0 a) Dang 1: f (x) = g(x) ⇔  ̣ f (x) = [g(x)] 2 Ví dụ. Giai phương trinh: x + 1 = x − 1 (1) ̉ ̀ x ≥ 1 x ≥ 1  x ≥ 1 ⇔ 2 ⇔ Giai: (1) ⇔  ̉ x = 3  x + 1 = x − 1  x − 3x = 0  Vây: phương trinh đã cho có môt nghiêm x = 3 ̣ ̀ ̣ ̣ b) Dang 2: f (x) + g(x) = h(x) ̣Ví du. Giai phương trinh: x + 3 = 5 − x − 2 (2) ̣ ̉ ̀Giai. Với điêu kiên x ≥ 2. Ta co: ̉ ̀ ̣ ́ (2) ⇔ x + 3 + x − 2 = 5 ⇔ 2 x + 1 + 2 (x + 3)(x − 2) = 25 ⇔ ( x + 3)(x − 2) = 12 − x 2 ≤ x ≤ 12 2 ≤ x ≤ 12 ⇔ ⇔x=6 ⇔ 2 25x = 150  x + x − 6 = 144 + x − 24x 2Vây: phương trinh đã cho có môt nghiêm x = 6 ̣ ̀ ̣ ̣ c) Dang 3: f (x) + g(x) = h(x) ̣Ví du. Giai phương trinh: x + 1 − x − 7 = 12 − x (3) ̣ ̉ ̀Giai: Với điêu kiên 7 ≤ x ≤ 12. Ta co: ̉ ̀ ̣ ́ (3) ⇔ x + 1 = 12 − x + x − 7 ⇔ x + 1 = 5 + 2 (12 − x)(x − 7) ⇔ 2 19x − x 2 − 84 = x − 4 ⇔ 4(19x – x2 – 84) = x2 – 8x + 16 ⇔ 76x – 4x2 – 336 – x2 + 8x – 16 = 0 ⇔ 5x2 – 84x + 352 = 0  352  2 1764 1764 352  84 42 5 x2 − x + ÷= 5 x − 2 × x + − + ÷  5  5 5 5 25 25 2  42   44  4 = 5 ( x − 8 )  x − ÷ = (x − 8) ( 5x − 44 ) = 5 x − ÷ − 5 ×  5  5 25 44 ⇔ x1 = ; x2 = 8 5 44Vây: phương trinh đã cho có hai nghiêm x1 = ̣ ̀ ̣ ; x2 = 8 5 d) Dang 4: f (x) + g(x) = h(x) + k(x) ̣Ví du. Giai phương trinh: x − x − 1 − x − 4 + x + 9 = 0 (4) ̣ ̉ ̀Giai: Với điêu kiên x ≥ 4. Ta co: ̉ ̀ ̣ ́ (4) ⇔ x + 9 + x = x − 1 + x − 4 ⇔ 2 x + 9 + 2 x(x + 9) = 2x − 5 + 2 (x − 4)(x − 1) ⇔ 7 + x(x + 9) = (x − 1)(x − 4) ⇔ 49 + x + 9x + 14 x(x + 9) = x − 5x + 4 2 2 ******************************* MÔT SỐ PHƯƠNG PHAP GIAI PHƯƠNG TRINH VÔ TỈ ̣ ́ ̉ ̀ ****************************** ⇔ 45 + 14x + 14 x(x + 9) = 0Vơi x ≥ 4 ⇒ vế trai cua phương trinh luôn là môt số dương ⇒ phương trinh vô nghiêm ́ ́̉ ̀ ̣ ̀ ̣2) Phương phap trị tuyêt đôi hoa ́ ̣ ́ ́Ví dụ 1. Giải phương trình: x 2 − 4x + 4 + x = 8 (1)Giai: (1) ⇔ (x − 2) 2 = 8 − x ̉Với điêu kiên x ≤ 8. Ta co: ̀ ̣ ́ (1) ⇔ |x – 2| = 8 – x – Nêu x < 2: (1) ⇒ 2 – x = 8 – x (vô nghiêm) ́ ̣ – Nêu 2 ≤ x ≤ 8: (1) ⇒ x – 2 = 8 – x ⇔ x = 5 ́HD: Đáp số: x = 5.Ví dụ 2. Giải phương trình x + 2 + 2 x + 1 + x + 10 − 6 x + 1 = 2 x + 2 − 2 x + 1 (2)Giai: (2) ⇔ x + 1 + 2 x + 1 + 1 + x + 1 − 2.3 x + 1 + 9 = 2 x + 1 − 2 x + 1 + 1 ̉ ⇔ x + 1 + 1+ | x + 1 − 3 |= 2.| x + 1 − 1| Đăt y = x + 1 (y ≥ 0) ⇒ phương trinh đã cho trở thanh: ̣ ̀ ̀ y + 1+ | y − 3 |= 2 | y − 1| – Nêu 0 ≤ y < 1: y + 1 + 3 – y = 2 – 2y ⇔ y = –1 (loai) ́ ̣ – Nêu 1 ≤ y ≤ 3: y + 1 + 3 – y = 2y – 2 ⇔ y = 3 ́ ́ ̣ – Nêu y > 3: y + 1 + y – 3 = 2y – 2 (vô nghiêm)Vơi y = 3 ⇔ x + 1 = 9 ⇔ x = 8 ́Vây: phương trinh đã cho có môt nghiêm là x = 8 ̣ ̀ ̣ ̣3) Phương phap sử dung bât đăng thức ́ ̣ ́ ̉ a) Chứng tỏ tâp giá trị cua hai vế là rời nhau, khi đó phương trinh vô nghiêm ̣ ̉ ̀ ̣Ví dụ 1. Giai phương trinh x − 1 − 5x − 1 = 3x − 2 ̉ ̀ ́ ̀ ̣Cach 1. điêu kiên x ≥ 1 Vơi x ≥ 1 thi: Vế trai: x − 1 < 5x − 1 ⇒ vế trai luôn âm ́ ̀ ́ ́ Vế phai: 3x − 2 ≥ 1 ⇒ vế phai luôn dương ̉ ̉ Vây: phương trinh đã cho ...